summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/controle-2010.tex
blob: 811bbdf8da614444de3d2860afa593a0a67cfe6c (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{ucs}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
%
\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}}
\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}}
\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}
\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\init}{\operatorname{in}}
\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
\newcommand{\divis}{\operatorname{div}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
%
\newif\ifcorrige
\corrigetrue
\newenvironment{corrige}%
{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
%
%
%
\begin{document}
\ifcorrige
\title{MDI349\\Contrôle de connaissances --- Corrigé\\{\normalsize Géométrie algébrique}}
\else
\title{MDI349\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Géométrie algébrique}}
\fi
\author{}
\date{2010}
\maketitle

%
%
%

Dans ce qui suit, $k$ désigne un corps parfait de
caractéristique $\neq 2,3$ (on pourra, si on le souhaite, supposer
qu'il s'agit par exemple de $\mathbb{F}_5$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$
ou $\mathbb{C}$, cela n'aura pas d'incidence sur les questions).

\emph{Les questions 3 et 4 peuvent être traitée indépendamment des
  questions 1 et 2.}

\textbf{1.} Dans l'anneau $k[x,y,z]$ des polynômes à trois
indéterminées sur $k$, on considère l'ordre lexicographique pur
${\preceq} = {\preceq}_{\mathtt{lex}}$ sur les monômes, qui ordonne
les variables dans l'ordre $x \prec y \prec z$.  Écrire dans l'ordre
croissant, pour cet ordre, les monômes $1$, $x$, $y$, $z$, $x^2$,
$y^2$, $z^2$, $x^2 z$, $x^4$.

\begin{corrige}
On a $1 \prec x \prec x^2 \prec x^4 \prec y \prec y^2 \prec z \prec
x^2 z \prec z^2$.
\end{corrige}

\medbreak

\textbf{2.} On considère dans l'anneau $k[x,y,z]$ l'idéal $I$ engendré
par les deux polynômes
\[
\begin{array}{c}
f_1 = x^2 + y^2 + z^2 - 1\\
f_2 = y^2 + (z-1)^2 - 1\\
\end{array}
\]
(Si on préfère, $I$ définit la variété algébrique $Z(I)$
dans $\mathbb{A}^3$ intersection de la sphère $Z(f_1)$ de centre
$(0,0,0)$ et de rayon $1$, et du cylindre $Z(f_2)$ d'axe $y=0,z=1$ et
de rayon $1$.)

(a) Soit $f_3 = f_1 - f_2$.  Expliquer pourquoi l'idéal engendré par
$f_1$ et $f_3$ est le même que celui ($I$) engendré par $f_1$
et $f_2$.  Quel est le reste (standard) de $f_3$ par rapport à
$f_1,f_2$ pour l'ordre monomial $\preceq$ ?  Les polynômes $f_1,f_2$
sont-ils une base de Gröbner (de l'idéal $I$) ?

\begin{corrige}
Comme $f_3 = f_1 - f_2$ on a $f_3 \in (f_1,f_2) = I$ donc $(f_1,f_3)
\subseteq (f_1,f_2)$, mais dans l'autre sens $f_2 = f_1 - f_3 \in
(f_1,f_3)$ donc $(f_1,f_2) \subseteq (f_1,f_3)$, ce qui prouve
l'égalité.

On a $f_3 = 2z + x^2 - 1$ : aucun de ses monômes ($z$, $x^2$ ou $1$)
n'est divisible par le terme de tête d'un des polynômes $f_1$ ou $f_2$
(soit $z^2$), donc le reste est $f_3$ lui-même.  Comme ce reste est
non-nul bien que $f_3 \in (f_1,f_2)$, on peut conclure que $f_1,f_2$
ne sont pas une base de Gröbner.
\end{corrige}

\smallbreak

(b) Calculer le reste (standard) $f_4$ de $f_1 - \frac{1}{2} z f_3$
par rapport à $f_1,f_3$ pour l'ordre monomial $\preceq$.  Expliquer
pourquoi l'idéal engendré par $f_3$ et $f_4$ est le même que celui
engendré par $f_1$ et $f_3$.

\begin{corrige}
On a $f_1 - \frac{1}{2} z f_3 = -\frac{1}{2}x^2 z + \frac{1}{2}z + y^2
+ x^2 - 1$ (il s'agit du polynôme de syzygie entre $f_1$ et $f_3$).
Deux de ses monômes, à savoir $x^2z$ et $z$ sont divisibles par le
monôme de tête de $f_3$ (à savoir $z$).  Si on ajoute $\frac{1}{4} x^2
f_3$ puis $-\frac{1}{4} f_3$ pour annuler ces deux termes, il reste
$y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$, dans lequel
plus aucun monôme n'est divisible par le monôme de tête de $f_1$
(soit $z^2$) ni $f_3$ (soit $z$).  C'est donc le polynôme $f_4$
recherché.

L'idéal $(f_3,f_4)$ est le même que $(f_1,f_3)$ pour la même raison
qu'à la question précédente : on a d'une part $f_4 = f_1 +
(-\frac{1}{2}z + \frac{1}{4} x^2 - \frac{1}{4}) f_3$ qui montre $f_4
\in (f_1,f_3)$, et d'autre part, la même égalité $f_1 = f_4 +
(\frac{1}{2}z - \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{4}) f_3$ qui montre $f_1
\in (f_3,f_4)$.  On a donc bien $(f_1,f_3) = (f_3,f_4)$.
\end{corrige}

\smallbreak

(c) Montrer qu'une base de Gröbner de $I$ pour l'ordre $\preceq$ est
donnée par
\[
\begin{array}{c}
z + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\\\noalign{\smallskip}
y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}\\
\end{array}
\]
S'agit-il d'une base de Gröbner réduite ?

\begin{corrige}
Les polynômes en questions sont $\frac{1}{2} f_3$ et $f_4$.  On a vu à
la question précédente que ces polynômes engendrent bien $I$.

Montrons qu'il s'agit d'une base de Gröbner : le polynôme de syzygie
entre $\frac{1}{2}f_3$ et $f_4$ vaut $f_{3,4} :=
y^2\cdot\frac{1}{2}f_3 - z\cdot f_4$ (puisque les monômes $z$ et $y^2$
ont pour pgcd $1$).  On peut le calculer complètement ($f_{3,4}$ vaut
$-\frac{1}{4} x^4 z - \frac{1}{2} x^2 z + \frac{3}{4} z + \frac{1}{2}
x^2 y^2 - \frac{1}{2} y^2$), mais ce n'est pas nécessaire pour se
convaincre que les termes divisibles par $z$ vont être annulés en
soustrayant précisément le produit de $\frac{1}{2} f_3$ par les termes
de $f_4$ autres que celui de tête, et qu'ensuite les termes qui
resteront vont être annulés en soustrayant le produit de $f_4$ par les
termes de $\frac{1}{2}f_3$ autres que celui de tête --- le reste vaut
donc $0$.  Si l'on préfère, on pouvait aussi dire que $f_{3,4} = g_3
\cdot \frac{1}{2}f_3 + g_4 f_4$ constitue une écriture standard
lorsque $g_3 = f_4 - y^2$ et $g_4 = \frac{1}{2}f_3 - z$ puisque le
monôme de tête de chacun de $g_3 f_3$ (soit $x^4 z$) et de $g_4 f_4$
(soit $x^2 y^2$) est à chaque fois égal à celui de $f_{3,4}$, et cette
écriture standard a un reste nul.

La base est réduite car aucun monôme de $\frac{1}{2} f_3$ ou $f_4$
n'est divisible par le terme de tête de l'autre, et que ces termes de
tête sont unitaires.  (Il s'agit donc de \emph{la} base de Gröbner
réduite de $I$ pour l'ordre $\preceq$.)
\end{corrige}

\smallbreak

(d) Quel est l'idéal $I \cap k[x,y]$ ?  Donner l'équation de
l'adhérence de Zariski de la projection de la variété algébrique
affine $Z(I)$ sur le plan $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $x,y$.

\begin{corrige}
On a trouvé une base de Gröbner $B$ de $I$ pour l'ordre
lexicographique avec $x \prec y \prec z$.  On sait alors qu'une base
de Gröbner de $I \cap k[x,y]$ est donnée par ceux des éléments de $B$
qui appartiennent à $k[x,y]$, soit en l'occurrence $f_4 = y^2 +
\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$.  On a donc $I \cap
k[x,y] = (f_4)$, et $f_4$ est l'équation de l'adhérence de Zariski de
la projection de $Z(I)$ sur le plan de coordonnées $x,y$.  (C'est la
courbe $C$ étudiée à la question suivante.)
\end{corrige}

\medbreak

\textbf{3.} On considère maintenant la variété $C$ définie dans le
plan affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $x,y$ par l'équation
$y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4} = 0$.

(a) Ce plan affine $\mathbb{A}^2$ étant vu dans le plan projectif
$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(T:X:Y)$ par $x = X/T$ et $y
= Y/T$, donner les équations de l'adhérence de Zariski $C^+$
(« complétée projective ») de $C$ dans $\mathbb{P}^2$.  Quelles sont
les coordonnées du point (qu'on notera $\infty_C$) d'intersection de
$C^+$ et la droite « à l'infini » $T=0$ ?

\begin{corrige}
L'équation de $C^+$ s'obtient en homogénéisant celle de $C$, soit $T^2
Y^2 + \frac{1}{4}X^4 + \frac{1}{2}T^2 X^2 - \frac{3}{4} T^4 = 0$.  La
droite à l'infini $T=0$ et $C^+$ se rencontrent au point $(T:X:Y) =
(0:0:1)$ (car $T=0$ et l'équation de $C^+$ impliquent $X=0$, donc on
doit avoir $Y\neq 0$ qu'on peut écrire $Y=1$ vu le choix de
l'homogénéité), qui est donc l'unique point de $C^+$ non dans $C$.
\end{corrige}

\smallbreak

(b) Pourquoi $C$ et $C^+$ sont-elles de dimension $1$ ?

\begin{corrige}
D'après le Hauptidealsatz : car elles sont définies par une seule
équation non constante dans le plan.
\end{corrige}

\smallbreak

(c) Le polynôme $h(x) := \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 -
\frac{3}{4}$ a-t-il des racines multiples dans la clôture
algébrique $k^{\alg}$ de $k$ ?  Pourquoi les racines en question
peuvent-elles s'écrire $\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$
(pour certains $\lambda_1,\lambda_2 \in k^{\alg}$) ?

\begin{corrige}
Le discriminant du trinôme $g(u) := \frac{1}{4} u^2 + \frac{1}{2} u -
\frac{3}{4}$ (en la variable $u$) vaut $\frac{1}{2}^2 - 4
\frac{1}{4}(-\frac{3}{4}) = 1 \neq 0$, donc celui-ci a deux racines
distinctes (qui sont d'ailleurs $u=1$ et $u=-3$), et par ailleurs
distinctes de $0$ (cela se voit sur leur produit qui est $-3$).  Les
racines de $h = g(x^2) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 -
\frac{3}{4}$ sont les racines carrées des racines de $g$, qui peuvent
donc s'écrire $\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$ avec
$\lambda_1 = 1$ par exemple, et $\lambda_2 = \sqrt{-3}$ (une des deux
racines carrées de $-3$ dans $k^{\alg}$).
\end{corrige}

\smallbreak

(d) Montrer que $C$ est lisse ; $C^+$ l'est-elle aussi ?

\begin{corrige}
Un point non-lisse de $C$ devrait être une solution (dans $k^{\alg}$)
à la fois de $f_4 = 0$ et de $\frac{\partial f_4}{\partial x} = 0$ et
de $\frac{\partial f_4}{\partial y} = 0$, soit $f_4 = 0$ et $x^3 + x =
0$ et $y = 0$.  Or ces équations impliquent à la fois $h(x) = 0$ et
$h'(x) = 0$ (où $h = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$ a
été introduit à la question précédente), et on a vu que $h$ n'a pas de
racine multiple, c'est-à-dire précisément qu'il n'a pas de racine
commune avec $h'$.  La variété $C$ est donc lisse.

En revanche, au point $(T:X:Y) = (0:0:1)$, toutes les dérivées
partielles de l'équation $T^2 Y^2 + \frac{1}{4}X^4 + \frac{1}{2}T^2
X^2 - \frac{3}{4} T^4 = 0$ de $C^+$ s'annulent simultanément, donc ce
point est singulier.  (Cela peut aussi se voir en considérant un autre
ouvert affine, $D(Y) = \{Y\neq 0\}$ de $\mathbb{P}^2$, pour lequel en
posant $\tau = T/Y$ et $\xi = X/Y$ les deux coordonnées affines,
l'équation de $C^+ \cap D(Y)$ devient $\tau^2 + \frac{1}{4}\xi^4 +
\frac{1}{2}\tau^2\xi^2 - \frac{3}{4}\tau^4 = 0$, où effectivement à la
fois l'équation et ses deux dérivées partielles par rapport à $\tau$
et $\xi$ s'annulent simultanément en $(\tau,\xi) = (0,0)$.)
\end{corrige}

\medbreak

\textbf{4.} Pour les questions qui suivent, on \emph{rappelle} les
faits suivants : il existe une courbe (projective, lisse) $\tilde C$,
unique à isomorphisme près, appelée « normalisée de $C^+$ », munie
d'un morphisme $\nu\colon \tilde C \to C^+$, de sorte que les corps
des fonctions $k(C) = k(C^+)$ et $k(\tilde C)$ coïncident
(via $\nu^*$) ; de plus, $\nu$ est un isomorphisme entre l'ouvert
$\nu^{-1}(C)$ de $\tilde C$ et $C$.  On \emph{admet} de plus le fait
suivant : il existe exactement deux $k^{\alg}$-points de $\tilde C$
envoyés par $\nu$ sur $\infty_C$ (=le complémentaire de $C$
dans $C^+$, cf. question 3(a)) ; ces deux points seront notés
$\infty_1$ et $\infty_2$.

(a) La coordonnée $y = Y/T$ étant vue comme fonction rationnelle, que
vaut $\ord_P(y)$ pour $P$ un point de $C$ ?  (Discuter selon le
point.)

\begin{corrige}
Les quatre $k^{\alg}$-points où $y$ s'annule sont les quatre points
$P_1 = (\lambda_1,0)$, $P_2 = (\lambda_2,0)$, $P'_1 = (-\lambda_1,0)$,
$P'_2 = (-\lambda_2,0)$ où $\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$
sont les quatre racines de $h(x)=0$ (cf. question 3(c)).  En tout
point $P$ autre que les $P_1,P_2,P'_1,P'_2$, on a $\ord_P(y) = 0$ ; en
ces quatre points, $\ord_P(y) = 1$ (pour justifier rigoureusement :
$dy_P$ n'est pas nulle, puisqu'il s'agit de points lisses à tangente
verticale ; ou, si l'on préfère, $\deg y = 4$ car $k(C)$ est donné par
une équation de degré $4$ au-desus de $k(y)$).
\end{corrige}

\smallbreak

(b) En considérant $\ord_P(x-c)$, avec $c$ une constante, déterminer
de même $\ord_P(dx)$ pour $P$ un point de $C$.  Que vaut
$\ord_P(dx/y)$ pour tout point $P$ de $C$ ?

\begin{corrige}
Pour toutes les valeurs $c$ autres que
$\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$, la fonction $x-c$
s'annule en deux $k^{\alg}$-points de la courbe (dont les absisses
sont $c$ et les ordonnées les deux racines carrées de $-h(c)$
dans $k^{\alg}$), avec $\ord_P(x-c) = 1$ en ces deux points (puisque
$x-c$ est de degré $2$).  Lorsque $c$ vaut, disons, $\lambda_1$, on a
$\ord_{P_1}(x-\lambda_1) = 2$ (car $\ord_{P_1}(y^2) = 2$ et que $y^2$
s'écrit comme $(x-\lambda_1)$ fois une fonction de $x$ ne s'annulant
pas $\lambda_1$), et la même chose vaut pour
$\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$.

En choisissant pour $c$ l'abscisse du point $P$, on en déduit que
$\ord_P(dx) = \ord_P(d(x-c)) = \ord_P(x-c)-1$ vaut $0$ en tout point
$P$ de $C$ sauf $P_1,P_2,P'_1,P'_2$ pour lesquels $\ord_P(dx) = 1$.
Ceci montre que $\ord_P(dx/y) = 0$ en tout point $P$ de $C$.
\end{corrige}

\smallbreak

(c) Pourquoi a-t-on $(X^4 : T^2 Y^2) = (-4Y^2 - 2X^2 + 3T^2 : Y^2)$
(ces expressions désignant les coordonnées homogènes d'un point
de $\mathbb{P}^1$) sur $C^+$ ?  En déduire que la fonction
$\frac{y^2}{x^4}$ s'étend en un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$
prenant la valeur $-\frac{1}{4}$ en $\infty_C$.  Conclure que
$\ord_{\infty_1} \frac{y^2}{x^4} = \ord_{\infty_2} \frac{y^2}{x^4} =
0$.

\begin{corrige}
L'équation de $C^+$ donne $X^4 = -4T^2 Y^2 - 2T^2 X^2 + 3T^4$.  On a
donc $(X^4 : T^2 Y^2) = (-4Y^2 - 2X^2 + 3T^2 : Y^2)$ (simplifier les
coordonnées homogènes du membre de droite par $T^2$).  Ceci définit
bien un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ (les coordonnées dans de
gauche ne s'annulent simultanément qu'en $T = X = 0$, soit $\infty_C$,
et celles de droite ne s'y annulent pas toutes).  Ce morphisme définit
la fonction $\frac{T^2 Y^2}{X^4} = \frac{y^2}{x^4}$ (on a plongé
$\mathbb{A}^1$ dans $\mathbb{P}^1$ par $t \mapsto (1:t)$), et en
$\infty_C$ de coordonnées $(T:X:Y) = (0:0:1)$ ce morphisme vaut
$(-4:1)$, soit $-\frac{1}{4}$, d'après les coordonnées de droite.

On peut considérer ce morphisme comme un morphisme $\tilde C \to
\mathbb{P}^1$ (en composant avec $\nu$), c'est toujours
$\frac{y^2}{x^4}$ puisqu'on a identifié les corps de fonctions : il
vaut $-\frac{1}{4}$ en $\infty_1,\infty_2$, donc $\ord
\frac{y^2}{x^4}$ est nul en ces deux points.  C'est-à-dire que $y^2$
et $x^4$, ou, bien sûr, $y$ et $x^2$, ont même ordre en $\infty_1$ et
$\infty_2$.
\end{corrige}

\smallbreak

(d) Expliquer pourquoi $\ord_{\infty_1} x = \ord_{\infty_2} x = -1$ et
$\ord_{\infty_1} y = \ord_{\infty_2} y = -2$ et $\ord_{\infty_1} dx =
\ord_{\infty_2} dx = -2$.

\begin{corrige}
Manifestement $y = \frac{Y}{T}$ vaut $\infty$ en $\infty_1$ et
$\infty_2$.  Donc $\ord_{\infty_i} y < 0$.  On a vu à la question
précédente que $\ord_{\infty_i} y = 2 \ord_{\infty_i} x$, donc aussi
$\ord_{\infty_i} x < 0$.  Or on a calculé $\ord_P x$ pour $P$
dans $C$ : la somme vaut $2$, et comme le a somme sur tous les $P$ de
$\tilde C$ doit valoir $0$, on a $\ord_{\infty_1} x = \ord_{\infty_2}
x = -1$.  Par conséquent, $\ord_{\infty_1} y = \ord_{\infty_2} y =
-2$, et $\ord_{\infty_1} dx = \ord_{\infty_2} dx = -2$.
\end{corrige}

\smallbreak

(e) Quel est le diviseur (canonique) de $dx/y$ sur $\tilde C$ ?  En
conclure quant au genre de $\tilde C$.

\begin{corrige}
On a déjà vu que $\ord_P(dx/y) = 0$ pour tout $P$ de $C$, et on vient
de voir que c'est aussi le cas en $\infty_1$ et $\infty_2$.  Par
conséquent, $dx/y$ a le diviseur nul sur $\tilde C$.  La classe de
diviseurs canonique sur $\tilde C$ ayant le degré $2g-2 = 0$, le genre
de $\tilde C$ est $g=1$.
\end{corrige}


%
%
%
\end{document}