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\begin{document}
\title{\underline{Brouillon} de notes de cours\\de géométrie algébrique}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{MDI349}}

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\section*{Conventions}

Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont
commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).

Si $k$ est un anneau, une \emph{$k$-algèbre} (là aussi : implicitement
commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
\buildrel\varphi\over\to A$.  On peut multiplier un élément de $A$ par
un élément de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in
k$ et $x\in A$).


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\section{Introduction / motivations}

Qu'est-ce que la géométrie algébrique ?  En condensé :
\begin{itemize}
\item\textbf{But :} Étudier les solutions de systèmes d'équations
  polynomiales dans un corps ou un anneau quelconque, ou des objets
  apparentés.  (Étudier = étudier leur existence, les compter, les
  paramétrer, les relier, définir une structure dessus, etc.)
\item\textbf{Géométrie :} Voir de tels systèmes d'équations comme des
  objets géo\-mé\-triques, soit plongés dans un espace ambiant (espace
  affine, espace projectif), soit intrinsèques ; leur appliquer des
  concepts de géométrie (espace tangent, étude locale de singularités,
  etc.).
\item\textbf{Moyens :} L'étude locale de ces objets passe par les
  fonctions définies dessus, qui sont des anneaux tout à fait
  généraux, donc l'\emph{algèbre commutative} (étude des anneaux
  commutatifs et de leurs idéaux).
\end{itemize}

\smallbreak

Problèmes \emph{géométriques} = étude de solutions sur des corps
algébriquement clos (e.g., $\mathbb{C}$ : géométrie algébrique
complexe ; $\bar{\mathbb{F}}_p$) ou « presque » (e.g., $\mathbb{R}$ :
géométrie algébrique réelle).  Problèmes \emph{arithmétiques} = sur
des corps loin d'être algébriquement clos (e.g., $\mathbb{Q}$ :
géométrie arithmétique), ou des anneaux plus gé\-né\-raux
(e.g., $\mathbb{Z}$ : idem, « équations diophantiennes »).

Applications : cryptographie et codage (géométrie sur $\mathbb{F}_q$),
calcul formel, robotique (géométrie sur $\mathbb{R}$), analyse
complexe (géométrie sur $\mathbb{C}$), théorie des nombres
(sur $\mathbb{Q}$, corps de nombres...), etc.

\smallbreak

\textbf{Un exemple :} Pour tout anneau $k$, on définit $C(k) =
\{(x,y)\in k^2 : x^2+y^2 = 1\}$.  Interprétation géométrique : ceci
est un cercle !  Il est plongé dans le « plan affine » $\mathbb{A}^2$
défini par $\mathbb{A}^2(k) = k^2$ pour tout anneau $k$.

\begin{itemize}
\item Sur $\mathbb{R}$, les solutions forment effectivement un cercle,
  au sens naïf.
\item (Sur $\mathbb{C}$, les solutions dans $\mathbb{C}^2$ forment une
  surface, qui ressemblerait plutôt à une sphère privée de deux
  points.)
\item Sur $\mathbb{F}_q$, on peut compter les solutions : on peut
  montrer qu'il y en a $q-1$ ou $q+1$ selon que $q \equiv 1\pmod{4}$
  ou $q \equiv 3\pmod{4}$ (ou encore $q$ pour $q = 2^r$).
\item Sur $\mathbb{Q}$, il n'est pas complètement évident de trouver
  des solutions autres que $(\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1)$.  Un exemple :
  $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ (Pythagore, Euclide...).
\end{itemize}

Paramétrage des solutions :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25);
\draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15);
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw (1,-1.15) -- (1,1.15);
\coordinate (P) at (0.8,0.6);
\coordinate (Q) at (1,0.6666666667);
\draw (0.8,0) -- (P);
\draw (-1,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (Q);
\fill[black,opacity=.5] (P) circle (.5pt);
\fill[black,opacity=.5] (Q) circle (.5pt);
\fill[black,opacity=.5] (-1,0) circle (.5pt);
\node[anchor=west] at (Q) {$\scriptstyle (1,2t)$};
\node[anchor=north east] at (-1,0) {$\scriptstyle (-1,0)$};
\node[anchor=east] at (P) {$\scriptstyle (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Un petit calcul géométrique (cf. les formules exprimant
$\cos\theta,\sin\theta$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$),
valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait
tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une
  $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] =
  \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de
montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut
s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t
\in k$ (uniquement défini).

\emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point
$(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le
corps des fonctions rationnelles à une indéterminée sur $k$ ; (b) ceci
permet, par exemple, de trouver de nombreuses solutions
sur $\mathbb{Q}$, ou d'en trouver rapidement sur
$\mathbb{F}_q$ ($q$ impair) ; (c) on a, en fait, défini un
« morphisme » d'objets géométriques de la droite affine $\mathbb{A}^1$
vers le cercle $C$ (privé du point $(-1,0)$).

On peut aussi définir une structure de \emph{groupe} (abélien) sur les
points de $C(k)$ pour n'importe quel anneau $k$ : si $(x,y) \in C(k)$
et $(x',y') \in C(k)$, on définit leur composée $(x,y)\star (x',y') =
(x'',y'')$ par
\[
\left\{\begin{array}{c}
x'' = xx'-yy'\\
y'' = xy'+yx'\\
\end{array}\right.
\]
(cf. les formules exprimant
$\cos(\theta+\theta'),\sin(\theta+\theta')$ en fonction de
$\cos\theta,\sin\theta$ et $\cos\theta',\sin\theta'$).  Élément
neutre : $(1,0)$ ; inverse de $(x,y)$ : $(x,-y)$.

(Les fonctions trigonométriques, ``transcendantes'', servent à motiver
ces formules, mais les formules sont parfaitement valables sur
$\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !)


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\section{Prolégomènes d'algèbre commutative}

\subsection{Anneaux réduits, intègres}

Anneau \textbf{réduit} = anneau dans lequel $x^n = 0$ implique $x =
0$.  En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel que $x^n = 0$ pour un
certain $n \in \mathbb{N}$ s'appelle un élément \textbf{nilpotent}.

Anneau \textbf{intègre} = anneau non nul dans lequel $xy = 0$ implique
$x=0$ ou $y=0$ (remarque : la réciproque vaut dans tout anneau).  En
général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel qu'il existe $y \neq 0$ tel
que $xy = 0$ s'appelle un \textbf{diviseur de zéro}.

Élément \textbf{inversible} (ou \emph{unité}) d'un anneau $A$ =
élément $x$ tel qu'il existe $y$ vérifiant $xy = 1$.  L'ensemble
$A^\times$ ou $\mathbb{G}_m(A)$ des tels éléments forme un
\emph{groupe}, appelé groupe multiplicatif des inversibles de $A$.  Un
\textbf{corps} est un anneau tel que $A^\times = A\setminus\{0\}$.

Un corps est un anneau intègre.  Un anneau intègre est un anneau
réduit.

\smallbreak

Idéal \textbf{maximal} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{m} \neq
A$ tel que si $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}'$ (avec
$\mathfrak{m}'$ un autre idéal) alors soit
$\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ soit $\mathfrak{m}'=A$).  Propriété
équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{m}$ tel que $A/\mathfrak{m}$
soit un corps.

Idéal \textbf{premier} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{p} \neq
A$ tel que si $x,y\not\in\mathfrak{p}$ alors $xy \not\in
\mathfrak{p}$.  Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{p}$
tel que $A/\mathfrak{p}$ soit intègre.

Idéal \textbf{radical} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{r}$ tel
que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$.  Propriété
équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$
soit réduit.

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\subsection{Modules}

Un \textbf{module} $M$ sur un anneau $A$ est un groupe abélien muni
d'une multiplication externe $A \times M \to M$ vérifiant :
\begin{itemize}
\item $a(x+y) = ax + ay$
\item $1x = x$
\item $(ab)x = a(bx)$
\item $(a+b)x = ax + bx$
\end{itemize}
(Exercice : $a0 = 0$, $a(-x) = -(ax)$, $0x = x$, $(-a)x = -(ax)$...)

Un \textbf{sous-module} $M'$ d'un module $M$ est un sous-groupe $M'$
de $M$ tel que $ax \in M'$ dès que $x\in M'$ et $a\in A$.

Tout anneau est un module sur lui-même de façon évidente.  Un
sous-$A$-module de $A$ est la même chose qu'un idéal de $A$.  Si $B$
est une $A$-algèbre, c'est-à-dire si on se donne un morphisme
d'anneaux $A \buildrel\varphi\over\to B$, on peut voir $B$ comme un
$A$-module (par $a\cdot b = \varphi(a)\,b$).

Module de type fini = il existe une famille \emph{finie} $(x_i)$
d'éléments de $M$ qui engendre $M$ comme $A$-module, c'est-à-dire que
tout $x \in M$ peut s'écrire $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in
A$.

Module libre = il existe une base $(x_i)$, c'est-à-dire une famille
(non né\-ces\-sairement finie) telle que tout $x \in M$ peut s'écrire
$\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$ tous nuls sauf un nombre
fini et \emph{uniquement définis} (c'est-à-dire que $\sum_i a_i x_i =
0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$).

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\subsection{Anneaux noethériens}

Anneau \textbf{noethérien} : c'est un anneau $A$ vérifiant les
proprités équivalentes suivantes :
\begin{itemize}
\item toute suite croissante pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1
  \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ d'idéaux de $A$ stationne
  (c'est-à-dire est constante à partir d'un certain rang) ;
\item tout idéal $I$ de $A$ est de type fini : il existe une famille
  \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $I$ qui engendre $I$ comme idéal
  (= comme $A$-module) (c'est-à-dire que tout $x \in I$ peut s'écrire
  $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$) ;
\item plus précisément, si $I$ est l'idéal engendré par une famille
  $x_i$ d'éléments, on peut trouver une sous-famille finie des $x_i$
  qui engendre le même idéal $I$ ;
\item un sous-module d'un $A$-module de type fini est de type fini.
\end{itemize}

L'essentiel des anneaux utilisés en géométrie algébrique (en tout cas,
auxquels on aura affaire) sont noethériens.  L'anneau $\mathbb{Z}$ est
noethérien.  Tout corps est un anneau noethérien.  Tout quotient d'un
anneau noethérien est noethérien (attention : il n'est pas vrai qu'un
sous-anneau d'un anneau noethérien soit toujours noethérien).  Et
surtout :
\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]
Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à
une indéterminée sur $A$ est noethérien.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal.  Supposons par l'abusrde que $I$
n'est psa de type fini.  On construit par récurrence une suite
$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit.  Si
$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal
$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut
choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$
non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$.

Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$.  Comme $A$ est
supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$
engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$.  Montrons qu'en
fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une
contradiction).

On peut écrire $a_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun
de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers.  On peut donc
construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m -
  \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$,
et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$.  Alors, $f_m - g$ est de
degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas
à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix
de $f_m$.
\end{proof}

En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors
$A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$.  Comme un
quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien :

\begin{defn}
Une $A$-algèbre $B$ est dite \emph{de type fini} (comme $A$-algèbre)
lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ tel que tout élément de $B$
s'écrive $f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in
A[t_1,\ldots,t_d]$.
\end{defn}

\danger\textbf{Attention :} Cela ne signifie pas que $B$ soit de type
fini comme $A$-module.  Lorsque c'est le cas, on dit que $B$ est une
$A$-algèbre \emph{finie}, ce qui est plus fort car cela signifie que
$f$ serait de degré $1$.  (Par exemple, $k[t]$ est une $k$-algèbre de
type fini, mais pas finie.)

\begin{cor}
Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier
sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
\end{cor}

%
\subsection{Notes sur les morphismes}

Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire
qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B
\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de
$k$-algèbres $A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes
d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant
commuter le diagramme :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{
A&&B\\&k&\\};
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\varphi_A$} (diag-1-1);
\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$\varphi_B$} (diag-1-3);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\psi$} (diag-1-3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Remarque : une $\mathbb{Z}$-algèbre est la même chose qu'un anneau, et
un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux.

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $\Hom_k(k,A)$ est un singleton pour toute $k$-algèbre $A$.
\item $\Hom_k(k[t],A)$ est en bijection avec $A$ en envoyant
  $\psi\colon k[t]\to A$ sur $\psi(t)$.
\item De même, $\Hom_k(k[t_1,\ldots,t_d],A)$ est en bijection avec
  l'ensemble $A^d$ (en envoyant $\psi$ sur
  $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$).
\item Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et
  si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors $\Hom_k(R, A)$ est en bijection
  avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall
  j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$).
\end{itemize}
\end{prop}

\textbf{Exercice :} Si on note $k[x,x^{-1}] = k[x,y]/(xy-1)$, à quoi
peut-on identifier l'ensemble $\Hom_k(k[x,x^{-1}], A)$ ?

Si $\beta\colon B \to B'$, on définit une application
$\Hom_k(A,\beta)\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ par $\psi \mapsto
\beta\circ\psi$ ; si $\alpha \colon A' \to A$ (attention au sens de la
flèche !), on définit de même une application $\Hom_k(\alpha,B) \colon
\Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ par $\psi \mapsto \psi\circ\alpha$.  Ces
applications $\Hom_k(A,\beta)$ et $\Hom_k(\alpha,B)$ commutent au sens
où $\Hom_k(\alpha,B') \circ \Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ
\Hom_k(\alpha,B) \penalty0\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B')$ (c'est
trivial : composer $\psi$ à droite par $\alpha$ puis à gauche
par $\beta$ revient à le composer à gauche par $\beta$ puis à droite
par $\alpha$).  De façon à peine moins triviale :

\begin{prop}[lemme de Yoneda]
Soient $B,B'$ deux $k$-algèbres.  On suppose que pour toute
$k$-algèbre $A$ on se donne une application $\beta_A\colon \Hom_k(A,B)
\to \Hom_k(A,B')$ telle que si $\alpha\colon A'\to A$ alors
$\Hom_k(\alpha,B') \circ \beta_A = \beta_{A'} \circ \Hom_k(\alpha,B)$.
Alors il existe un unique morphisme $\beta\colon B \to B'$ de
$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$.
\end{prop}
\begin{proof}
Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ !
\end{proof}


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\section{TODO}

Crash-course de théorie de Galois.

Géométrie algébrique affine facile (idéaux de $k[x_1,\ldots,x_n]$ avec
$k$ alg\textsuperscript{t} clos, Nullsellensatz).

Introduction à l'espace projectif.

Un peu d'abstract nonsense.

Bases de Gröbner.

Courbes et corps de dimension $1$.


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\end{document}