summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/notes-mdi349.tex
blob: ba967e88ae4b51931b50a3d204fa33a24b5d0a1e (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
\newcommand\thingy{%
\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition}
\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition}
\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme}
\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème}
\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire}
\newtheorem{rmk}[comcnt]{Remarque}
\newtheorem{exmps}[comcnt]{Exemples}
\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}}
\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}}
\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}
\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
%
%
%
\begin{document}
\title{\underline{Brouillon} de notes de cours\\de géométrie algébrique}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{MDI349}}

%
%
%

\section*{Conventions}

Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont
commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).

Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi :
implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
\buildrel\varphi\over\to A$ (appelé \emph{morphisme structural} de
l'algèbre).  On peut multiplier un élément de $A$ par un élément
de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in
A$).


%
%
%

\section{Introduction / motivations}

Qu'est-ce que la géométrie algébrique ?  En condensé :
\begin{itemize}
\item\textbf{But :} Étudier les solutions de systèmes d'équations
  polynomiales dans un corps ou un anneau quelconque, ou des objets
  apparentés.  (Étudier = étudier leur existence, les compter, les
  paramétrer, les relier, définir une structure dessus, etc.)
\item\textbf{Géométrie :} Voir de tels systèmes d'équations comme des
  objets géo\-mé\-triques, soit plongés dans un espace ambiant (espace
  affine, espace projectif), soit intrinsèques ; leur appliquer des
  concepts de géométrie (espace tangent, étude locale de singularités,
  etc.).
\item\textbf{Moyens :} L'étude locale de ces objets passe par les
  fonctions définies dessus, qui sont des anneaux tout à fait
  généraux, donc l'\emph{algèbre commutative} (étude des anneaux
  commutatifs et de leurs idéaux).
\end{itemize}

\smallbreak

Problèmes \emph{géométriques} = étude de solutions sur des corps
algébriquement clos (e.g., $\mathbb{C}$ : géométrie algébrique
complexe ; $\bar{\mathbb{F}}_p$) ou « presque » (e.g., $\mathbb{R}$ :
géométrie algébrique réelle).  Problèmes \emph{arithmétiques} = sur
des corps loin d'être algébriquement clos (e.g., $\mathbb{Q}$ :
géométrie arithmétique), ou des anneaux plus gé\-né\-raux
(e.g., $\mathbb{Z}$ : idem, « équations diophantiennes »).

Applications : cryptographie et codage (géométrie sur $\mathbb{F}_q$),
calcul formel, robotique (géométrie sur $\mathbb{R}$), analyse
complexe (géométrie sur $\mathbb{C}$), théorie des nombres
(sur $\mathbb{Q}$, corps de nombres...), etc.

\smallbreak

\textbf{Un exemple :} Pour tout anneau $k$, on définit $C(k) =
\{(x,y)\in k^2 : x^2+y^2 = 1\}$.  Interprétation géométrique : ceci
est un cercle !  Il est plongé dans le « plan affine » $\mathbb{A}^2$
défini par $\mathbb{A}^2(k) = k^2$ pour tout anneau $k$.

\begin{itemize}
\item Sur $\mathbb{R}$, les solutions forment effectivement un cercle,
  au sens naïf.
\item (Sur $\mathbb{C}$, les solutions dans $\mathbb{C}^2$ forment une
  surface, qui ressemblerait plutôt à une sphère privée de deux
  points.)
\item Sur $\mathbb{F}_q$, on peut compter les solutions : on peut
  montrer qu'il y en a $q-1$ ou $q+1$ selon que $q \equiv 1\pmod{4}$
  ou $q \equiv 3\pmod{4}$ (ou encore $q$ pour $q = 2^r$).
\item Sur $\mathbb{Q}$, il n'est pas complètement évident de trouver
  des solutions autres que $(\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1)$.  Un exemple :
  $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ (Pythagore, Euclide...).
\end{itemize}

Paramétrage des solutions :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25);
\draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15);
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw (1,-1.15) -- (1,1.15);
\coordinate (P) at (0.8,0.6);
\coordinate (Q) at (1,0.6666666667);
\draw (0.8,0) -- (P);
\draw (-1,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (Q);
\fill[black] (P) circle (.5pt);
\fill[black] (Q) circle (.5pt);
\fill[black] (-1,0) circle (.5pt);
\node[anchor=west] at (Q) {$\scriptstyle (1,2t)$};
\node[anchor=north east] at (-1,0) {$\scriptstyle (-1,0)$};
\node[anchor=east] at (P) {$\scriptstyle (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Un petit calcul géométrique (cf. les formules exprimant
$\cos\theta,\sin\theta$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$),
valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait
tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une
  $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] =
  \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de
montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut
s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t
\in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$).

\emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point
$(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le
corps des fonctions rationnelles à une indéterminée sur $k$ ; (b) ceci
permet, par exemple, de trouver de nombreuses solutions
sur $\mathbb{Q}$, ou d'en trouver rapidement sur
$\mathbb{F}_q$ ($q$ impair) ; (c) on a, en fait, défini un
« morphisme » d'objets géométriques de la droite affine $\mathbb{A}^1$
vers le cercle $C$ (privé du point $(-1,0)$).

On peut aussi définir une structure de \emph{groupe} (abélien) sur les
points de $C(k)$ pour n'importe quel anneau $k$ : si $(x,y) \in C(k)$
et $(x',y') \in C(k)$, on définit leur composée $(x,y)\star (x',y') =
(x'',y'')$ par
\[
\left\{\begin{array}{c}
x'' = xx'-yy'\\
y'' = xy'+yx'\\
\end{array}\right.
\]
(cf. les formules exprimant
$\cos(\theta+\theta'),\sin(\theta+\theta')$ en fonction de
$\cos\theta,\sin\theta$ et $\cos\theta',\sin\theta'$).  Élément
neutre : $(1,0)$ ; inverse de $(x,y)$ : $(x,-y)$.

(Les fonctions trigonométriques, ``transcendantes'', servent à motiver
ces formules, mais les formules sont parfaitement valables sur
$\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !)

\emph{Remarque :} Tout élément $f$ de l'anneau
$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction réelle sur le
cercle $C(\mathbb{R})$ : ces fonctions s'appellent « polynômes
  trigonométriques ».  Tout élément de l'anneau
$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction (à valeurs
dans $k$) sur \emph{n'importe quel} $C(k)$.  On verra aussi plus loin
qu'un élément de $C(k)$ peut se voir comme un morphisme d'anneaux
$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to k$.


%
%
%

\section{Prolégomènes d'algèbre commutative}

\subsection{Anneaux réduits, intègres}

Anneau \textbf{réduit} = anneau dans lequel $x^n = 0$ implique $x =
0$.  En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel que $x^n = 0$ pour un
certain $n \in \mathbb{N}$ s'appelle un élément \textbf{nilpotent}.

Anneau \textbf{intègre} = anneau non nul dans lequel $xy = 0$ implique
$x=0$ ou $y=0$ (remarque : la réciproque vaut dans tout anneau).  En
général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel qu'il existe $y \neq 0$ tel
que $xy = 0$ s'appelle un \textbf{diviseur de zéro}.

Élément \textbf{inversible} (ou \emph{unité}) d'un anneau $A$ =
élément $x$ tel qu'il existe $y$ vérifiant $xy = 1$.  L'ensemble
$A^\times$ ou $\mathbb{G}_m(A)$ des tels éléments forme un
\emph{groupe}, appelé groupe multiplicatif des inversibles de $A$.  Un
\textbf{corps} est un anneau tel que $A^\times = A\setminus\{0\}$.

Un corps est un anneau intègre.  Un anneau intègre est un anneau
réduit.

\smallbreak

Idéal \textbf{maximal} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{m} \neq
A$ tel que si $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}'$ (avec
$\mathfrak{m}'$ un autre idéal) alors soit
$\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ soit $\mathfrak{m}'=A$).  Propriété
équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{m}$ tel que $A/\mathfrak{m}$
soit un corps.

Idéal \textbf{premier} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{p} \neq
A$ tel que si $x,y\not\in\mathfrak{p}$ alors $xy \not\in
\mathfrak{p}$.  Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{p}$
tel que $A/\mathfrak{p}$ soit intègre.

Idéal \textbf{radical} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{r}$ tel
que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$.  Propriété
équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$
soit réduit.

\emph{Exemples :} L'idéal $7\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est maximal
(le quotient $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps), donc \textit{a
  fortiori} premier et radical.  L'idéal $0$ de $\mathbb{Z}$ est
premier mais non maximal (le quotient $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} =
\mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais non un corps).  L'idéal
$6\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est radical mais n'est pas premier.
L'idéal $9\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ n'est pas radical.

\smallbreak

Un anneau est un corps ssi son idéal $(0)$ est maximal.  Un anneau est
intègre ssi son idéal $(0)$ est premier.  Un anneau est réduit ssi son
idéal $(0)$ est radical.

Un anneau est dit \textbf{local} lorsqu'il a un unique idéal maximal.
(En particulier, un corps est un anneau local.)  Le quotient d'un
anneau local par son idéal maximal s'appelle son \emph{corps
  résiduel}.  \emph{Exercice :} l'anneau $A$ des rationnels de la
forme $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$ et $b$ impair est un
anneau local dont l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est formé des
$\frac{a}{b}$ avec $a$ pair.  (Quel est le corps résiduel ?)

\smallbreak

On admet le résultat ensembliste suivant :
\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]
Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$.  On
suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non
vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par
l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
  \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $\mathfrak{M}$ maximal
pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec
$I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$).
\end{lem}

\begin{prop}
Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
un idéal maximal.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de
Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$
contenant $I$.  Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement
ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in
  \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux
  n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la
  somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$.  En
  revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement
  ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est
  un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on
  peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un
  cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}}
  I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer
que $1$ n'y appartient pas).  Le principe maximal de Hausdorff permet
de conclure.
\end{proof}

\begin{prop}
Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
c'est le plus petit idéal radical.  Cet idéal est précisément
l'intersection des idéaux premiers de l'anneau.  On l'appelle le
\textbf{nilradical} de l'anneau.
\end{prop}
\begin{proof}
L'ensemble des nilpotents est un idéal car si $x^n=0$ et $y^n=0$ alors
$(x+y)^{2n}=0$ en développant.  Il est inclus dans tout idéal radical,
et il est visiblement lui-même radical : c'est donc le plus petit
idéal radical.  Étant inclus dans tout idéal radical, il est \textit{a
  fortiori} inclus dans tout idéal premier.  Reste à montrer que si
$z$ est inclus dans tout idéal premier, alors $x$ est nilpotent.

Supposons que $z$ n'est pas nilpotent.  Considérons $\mathfrak{p}$ un
idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun
$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff
(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$).
Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut
voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$.  Par maximalité de $\mathfrak{p}$,
chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux
  d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un
  idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus
  petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$
  et $J$.  Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un
  élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.}
$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$,
c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme
$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient
des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance
de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy
\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont
dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
\mathfrak{p}$.
\end{proof}

En appliquant ce résultat à $A/I$, on obtient :
\begin{prop}
Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments
tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal :
c'est le plus petit idéal radical contenant $I$.  Cet idéal est
précisément l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$.
On l'appelle le \textbf{radical} de l'idéal $I$ et on le note $\surd
I$.
\end{prop}

L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le
\textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général,
strictement plus grand que le nilradical.

%
\subsection{Modules}

Un \textbf{module} $M$ sur un anneau $A$ est un groupe abélien muni
d'une multiplication externe $A \times M \to M$ vérifiant :
\begin{itemize}
\item $a(x+y) = ax + ay$
\item $1x = x$
\item $(ab)x = a(bx)$
\item $(a+b)x = ax + bx$
\end{itemize}
(Exercice : $a0 = 0$, $a(-x) = -(ax)$, $0x = x$, $(-a)x = -(ax)$...)

Un \textbf{sous-module} $M'$ d'un module $M$ est un sous-groupe $M'$
de $M$ tel que $ax \in M'$ dès que $x\in M'$ et $a\in A$.

Tout anneau est un module sur lui-même de façon évidente.  Un
sous-$A$-module de $A$ est la même chose qu'un idéal de $A$.  Si $B$
est une $A$-algèbre, c'est-à-dire si on se donne un morphisme
d'anneaux $A \buildrel\varphi\over\to B$, on peut voir $B$ comme un
$A$-module (par $a\cdot b = \varphi(a)\,b$).

Module de type fini = il existe une famille \emph{finie} $(x_i)$
d'éléments de $M$ qui engendre $M$ comme $A$-module, c'est-à-dire que
tout $x \in M$ peut s'écrire $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in
A$.

Module libre = il existe une base $(x_i)$, c'est-à-dire une famille
(non né\-ces\-sairement finie) telle que tout $x \in M$ peut s'écrire
\emph{de façon unique} comme $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in
A$ tous nuls sauf un nombre fini (de façon unique, c'est-à-dire que
$\sum_i a_i x_i = 0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$).

%
\subsection{Anneaux noethériens}

Anneau \textbf{noethérien} : c'est un anneau $A$ vérifiant les
proprités équivalentes suivantes :
\begin{itemize}
\item toute suite croissante pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1
  \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ d'idéaux de $A$ stationne
  (c'est-à-dire est constante à partir d'un certain rang) ;
\item tout idéal $I$ de $A$ est de type fini : il existe une famille
  \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $I$ qui engendre $I$ comme idéal
  (= comme $A$-module) (c'est-à-dire que tout $x \in I$ peut s'écrire
  $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$) ;
\item plus précisément, si $I$ est l'idéal engendré par une famille
  $x_i$ d'éléments, on peut trouver une sous-famille finie des $x_i$
  qui engendre le même idéal $I$ ;
\item un sous-module d'un $A$-module de type fini est de type fini.
\end{itemize}

L'essentiel des anneaux utilisés en géométrie algébrique (en tout cas,
auxquels on aura affaire) sont noethériens.  L'anneau $\mathbb{Z}$ est
noethérien.  Tout corps est un anneau noethérien.  Tout quotient d'un
anneau noethérien est noethérien (attention : il n'est pas vrai qu'un
sous-anneau d'un anneau noethérien soit toujours noethérien).  Et
surtout :
\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]
Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à
une indéterminée sur $A$ est noethérien.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal.  Supposons par l'abusrde que $I$
n'est psa de type fini.  On construit par récurrence une suite
$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit.  Si
$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal
$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut
choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$
non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$.

Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$.  Comme $A$ est
supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$
engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$.  Montrons qu'en
fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une
contradiction).

On peut écrire $c_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun
de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers.  On peut donc
construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m -
  \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$,
et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$.  Alors, $f_m - g$ est de
degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas
à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix
de $f_m$.
\end{proof}

En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors
$A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$.  Comme un
quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien :

\begin{defn}
Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre)
lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer}
$B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive
$f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in
A[t_1,\ldots,t_d]$.
\end{defn}

\danger\textbf{Attention :} Cela ne signifie pas que $B$ soit de type
fini comme $A$-module.  Lorsque c'est le cas, on dit que $B$ est une
$A$-algèbre \emph{finie}, ce qui est plus fort car cela signifie que
$f$ serait de degré $1$.  (Par exemple, $k[t]$ est une $k$-algèbre de
type fini, engendrée par $t$, mais pas finie.)

Dire que $B$ est une $A$-algèbre de type fini engendrée par
$x_1,\ldots,x_d$ signifie donc que le morphisme $\xi\colon
A[t_1,\ldots,t_d] \to B$ défini par $f \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)$ est
\emph{surjectif}.  Par conséquent, si $I$ désigne le noyau de ce
morphisme (c'est-à-dire l'ensemble des $f \in A[t_1,\ldots,t_d]$ qui
s'annulent en $(x_1,\ldots,x_d)$) alors $\xi$ définit un isomorphisme
$A[t_1,\ldots,t_d]/I \buildrel\sim\over\to B$.  On peut donc dire :
une $A$-algèbre de type fini est un quotient de $A[t_1,\ldots,t_d]$
(pour un certain $d$).

\begin{cor}
Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier
sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien.
\end{cor}

%
\subsection{Notes sur les morphismes}

Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire
qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B
\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de
$k$-algèbres $A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes
d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant
commuter le diagramme :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{
A&&B\\&k&\\};
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\varphi_A$} (diag-1-1);
\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$\varphi_B$} (diag-1-3);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\psi$} (diag-1-3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Remarque : une $\mathbb{Z}$-algèbre est la même chose qu'un anneau, et
un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux.

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $\Hom_k(k,A)$ est un singleton pour toute $k$-algèbre $A$.
\item $\Hom_k(k[t],A)$ est en bijection avec $A$ en envoyant
  $\psi\colon k[t]\to A$ sur $\psi(t)$.
\item De même, $\Hom_k(k[t_1,\ldots,t_d],A)$ est en bijection avec
  l'ensemble $A^d$ (en envoyant $\psi$ sur
  $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$).
\item Si $I$ est un idéal de $R$, alors $\Hom_k(R/I, A)$ est en
  bijection avec le sous-ensemble de $\Hom_k(R,A)$ formé des
  $\psi\colon R\to A$ qui s'annulent sur $I$ (la bijection envoyant
  $\hat\psi \colon R/I \to A$ sur $\psi \colon R\to A$ composé de
  $\hat\psi$ avec la surjection canonique $R \to R/I$).
\item (En particulier,) si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de
  $k[t_1,\ldots,t_d]$ et si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors
  $\Hom_k(R, A)$ est en bijection avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d)
  \in A^d :\penalty0 (\forall j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté
  $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$).
\end{itemize}
\end{prop}

À titre d'exemple, dans l'introduction on avait posé $C(T) =
\{(x,y)\in T^2 : x^2+y^2 = 1\}$ pour tout anneau $T$.  Un élément de
$C(T)$ peut donc se voir comme un morphisme
$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to T$.

\textbf{Exercice :} Si on note $k[x,x^{-1}] = k[x,y]/(xy-1)$, à quoi
peut-on identifier l'ensemble $\Hom_k(k[x,x^{-1}], A)$ ?

\smallbreak

Si $\beta\colon B \to B'$, on définit une application
$\Hom_k(A,\beta)\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ par $\psi \mapsto
\beta\circ\psi$ ; si $\alpha \colon A' \to A$ (attention au sens de la
flèche !), on définit de même une application $\Hom_k(\alpha,B) \colon
\Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ par $\psi \mapsto \psi\circ\alpha$.  Ces
applications $\Hom_k(A,\beta)$ et $\Hom_k(\alpha,B)$ commutent au sens
où $\Hom_k(\alpha,B') \circ \Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ
\Hom_k(\alpha,B) \penalty0\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B')$ (c'est
trivial : composer $\psi$ à droite par $\alpha$ puis à gauche
par $\beta$ revient à le composer à gauche par $\beta$ puis à droite
par $\alpha$).  De façon à peine moins triviale :

\begin{prop}[lemme de Yoneda]
Soient $B,B'$ deux $k$-algèbres.  On suppose que pour toute
$k$-algèbre $A$ on se donne une application $\beta_A\colon \Hom_k(A,B)
\to \Hom_k(A,B')$ telle que si $\alpha\colon A'\to A$ alors
$\Hom_k(\alpha,B') \circ \beta_A = \beta_{A'} \circ \Hom_k(\alpha,B)$.
Alors il existe un unique morphisme $\beta\colon B \to B'$ de
$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$.
\end{prop}
\begin{proof}
Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ !
\end{proof}

%
\subsection{Localisation}

On dit qu'une partie $S$ d'un anneau $A$ est \emph{multiplicative}
lorsque $1\in S$ et $s,s'\in S \limp ss'\in S$.  Par exemple, le
complémentaire d'un idéal premier est, par définition,
multiplicative ; en particulier, dans un anneau intègre, l'ensemble
des éléments non nuls est une partie multiplicative.

Dans ces conditions, on construit un anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou
$S^{-1}A$) de la façon suivante : ses éléments sont notés $a/s$ avec
$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie $a/s = a'/s'$ lorsqu'il existe
$t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$.  L'addition est définie par
$(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le zéro par $0/1$, l'opposé par
$-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') =
(aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$).  Cet anneau est muni d'un morphisme
naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ donné par $a \mapsto
a/1$.  On l'appelle le \textbf{localisé} de $A$ inversant la partie
multiplicative $S$.  Si $A$ est une $k$-algèbre (pour un certain
anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente
(en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme
naturel $A \to A[S^{-1}]$).

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est
  injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro.
  (Extrême inverse : si $S$ contient $0$, alors $A[S^{-1}]$ est
  l'anneau nul.)
\item Tout idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ est de la forme $J = I[S^{-1}] :=
  \{a/s : a\in I,\penalty0 s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque
  dans $A$ (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de
  l'idéal $J$ considéré.  Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$
  définit une injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$.
\item Un idéal $I$ de $A$ est de la forme $\iota^{-1}(J)$ pour un
  idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (nécessairement $J = I[S^{-1}]$ d'après le
  point précédent) ssi aucun élément de $S$ n'est diviseur de zéro
  dans $A/I$.
\item En particulier, $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$
  définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et
  ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$.
\item Si $A$ est une $k$-algèbre, $\Hom_k(A[S^{-1}],B)$ s'identifie,
  via $\Hom_k(\iota,B)\colon \Hom_k(A[S^{-1}],B) \to \Hom_k(A,B)$, au
  sous-ensemble de $\Hom_k(A,B)$ formé des morphismes $\psi\colon A\to
  B$ tels que $\psi(s)$ soit inversible pour tout $s\in S$.
\end{itemize}
\end{prop}

Cas particuliers importants : si $\mathfrak{p}$ est premier et $S =
A\setminus\mathfrak{p}$ est son complémentaire, on note
$A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; c'est un anneau local (dont l'idéal
maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s
\not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle le localisé de $A$
\textbf{en} $\mathfrak{p}$.  Si $A$ est un anneau intègre et $S = A
\setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note
$\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \textbf{corps des
  fractions} de $A$.  Par exemple, $\Frac(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}$ et
$\Frac(k[t]) = k(t)$ pour $k$ un corps.

Toute partie $\Sigma$ de $A$ engendre une partie multiplicative $S$
(c'est l'intersection de toutes les parties multiplicatives
contenant $\Sigma$, ou simplement l'ensemble de tous les produits
possibles d'éléments de $\Sigma$) : on note généralement
$A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$.  En particulier, lorsque $\Sigma$
est le singleton d'un élément $\sigma$, on note $A[\sigma^{-1}]$ ou
$A[\frac{1}{\sigma}]$.

%
\subsection{TODO}

Lemme de Nakayama ?


%
%
%

\section{Variétés algébriques affines sur un corps algébriquement clos}

Pour le moment, $k$ est un corps, qui sera bientôt algébriquement
clos.

Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit un
ensemble $V(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0
(\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (on devrait
plutôt noter $V(\mathscr{F})(k)$ ou $V_k(\mathscr{F})$, surtout si $k$
n'est pas algébriquement clos, mais il le sera bientôt).  Remarques
évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors
$V(\mathscr{F}) \supseteq V(\mathscr{F}')$ ; on a $V(\mathscr{F}) =
\cap_{f\in \mathscr{F}} V(f)$ (où $V(f)$ est un racourci de notation
pour $V(\{f\})$).  Plus intéressant : si $I$ est l'idéal engendré par
$\mathscr{F}$ alors $V(I) = V(\mathscr{F})$.  On peut donc se
contenter de regarder les $V(I)$ avec $I$ idéal
de $k[t_1,\ldots,t_d]$.  Encore un peu mieux : si $\surd I = \{f :
(\exists n)\,f^n\in I\}$ désigne le radical de l'idéal $I$, on a
$V(\surd I) = V(I)$ ; on peut donc se contenter de considérer les
$V(I)$ avec $I$ idéal radical.

Réciproquement, si $E$ est une partie de $k^d$, on note
$\mathfrak{Z}(E) = \{f\in k[t_1,\ldots,t_d] :\penalty0 (\forall
(x_1,\ldots,x_d)\in E)\, f(x_1,\ldots,x_d)=0\}$.  Vérification
facile : c'est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, et même un idéal
radical.  Remarque évidente : si $E \subseteq E'$ alors
$\mathfrak{Z}(E) \supseteq \mathfrak{Z}(E')$ ; on a $\mathfrak{Z}(E) =
\cap_{x\in E} \mathfrak{m}_x$ (où $\mathfrak{m}_x$ désigne l'idéal
maximal $\mathfrak{Z}(\{x\})$ des polynômes s'annulant en $x$).

On a $E \subseteq V(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} \subseteq
\mathfrak{Z}(E)$ (les deux signifiant « tout polynôme dans
  $\mathscr{F}$ s'annule en tout point de $E$ »).  En particulier, en
appliquant ceci à $\mathscr{F} = \mathfrak{Z}(E)$, on a $E \subseteq
V(\mathfrak{Z}(E))$ pour toute partie $E$ de $k^d$ ; et en
l'appliquant à $E = V(\mathscr{F})$, on a $\mathscr{F} \subseteq
\mathfrak{Z}(V(\mathscr{F}))$.  De $E \subseteq V(\mathfrak{Z}(E))$ on
déduit $\mathfrak{Z}(E) \supseteq \mathfrak{Z}(V(\mathfrak{Z}(E)))$
(car $\mathfrak{Z}$ est décroissante), mais par ailleurs
$\mathfrak{Z}(E) \subseteq \mathfrak{Z}(V(\mathfrak{Z}(E)))$ en
appliquant l'autre inclusion à $\mathfrak{Z}(E)$ : donc
$\mathfrak{Z}(E) = \mathfrak{Z}(V(\mathfrak{Z}(E)))$ pour toute partie
$E$ de $k^d$ ; de même, $V(\mathscr{F}) =
V(\mathfrak{Z}(V(\mathscr{F})))$ pour tout ensemble $\mathscr{F}$ de
polynômes.  On a donc prouvé :

\begin{prop}
Avec les notations ci-dessus :
\begin{itemize}
\item Une partie $E$ de $k^d$ vérifie $E = V(\mathfrak{Z}(E))$ si et
  seulement si elle est de la forme $V(\mathscr{F})$ pour un
  certain $\mathscr{F}$, et dans ce cas on peut prendre $\mathscr{F} =
  \mathfrak{Z}(E)$, qui est un idéal radical.
\item Une partie $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifie $I =
  \mathfrak{Z}(V(I))$ si et seulement si elle est de la forme
  $\mathfrak{Z}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut
  prendre $E = V(I)$, et $I$ est un idéal radical
  de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
\item Les fonctions $\mathfrak{Z}$ et $V$ se restreignent en des
  bijections décroissantes réciproques entre l'ensemble des parties
  $E$ de $k^d$ vérifiant le premier point ci-dessus et l'ensemble des
  idéaux radicaux $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifiant le second.
\end{itemize}
\end{prop}

On appellera \textbf{fermé de Zariski} une partie $E$ de $k^d$
vérifiant le premier point, c'est-à-dire de la forme $V(\mathscr{F})$
pour une certaine partie $\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on
a vu qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical, et
précisément de $\mathfrak{Z}(E)$.  On ne donne pas de nom particulier
aux idéaux vérifiant le second point (=être dans l'image de la
fonction $\mathfrak{Z}$), mais on va voir que pour $k$ algébriquement
clos il s'agit de tous les idéaux radicaux.

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Les ensembles $\varnothing$ et $k^d$ tout entier sont des fermés
  de Zariski dans $k^d$.  Tout singleton $\{x\}$ est un fermé de
  Zariski.
\item Si $(E_i)_{i\in I}$ sont des fermés de Zariski, alors
  $\bigcap_{i\in I} E_i$ est un fermé de Zariski.
\item Si $E,E'$ sont des fermés de Zariski, alors $E \cup E'$ est un
  fermé de Zariski.
\end{itemize}
\end{prop}

On suppose maintenant que $k$ est algébriquement clos !

\begin{prop}[Nullstellensatz faible]
Soit $k$ un corps algébriquement clos.  Si $I$ est un idéal de
$k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que $V(I) = \varnothing$, alors $I =
k[t_1,\ldots,t_d]$.
\end{prop}
\begin{proof}[Démonstration dans le cas particulier où $k$ est indénombrable.]
Supposons par contraposée $I \subsetneq k[t_1,\ldots,t_d]$.  Alors il
existe un idéal maximal $\mathfrak{m}$ tel que $I \subseteq
\mathfrak{m}$, et on a $V(\mathfrak{m}) \subseteq V(I)$.  On va
montrer $V(\mathfrak{m}) \neq \varnothing$.

Soit $K = k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$.  Il s'agit d'un corps, qui
est de dimension au plus dénombrable (=il a une famille génératrice
dénombrable, à savoir les images des monômes dans les $t_i$) sur $k$.
Mais $K$ ne peut pas contenir d'élément transcendant $\tau$ sur $k$
car, $k$ ayant été supposé indénombrable, la famille des
$\frac{1}{\tau - a}$ pour $a\in k$ serait linéairement indépendante
(par décomposition en élément simples) dans $k(\tau)$ donc dans $K$.
Donc $K$ est algébrique sur $k$.  Comme $k$ était supposé
algébriquement clos, on a en fait $K=k$.  Les classes des
indéterminées $t_1,\ldots,t_d$ définissent alors des éléments
$a_1,\ldots,a_d \in k$, et pour tout $f \in \mathfrak{m}$, on a
$f(a_1,\ldots,a_d) = 0$.  Autrement dit, $(a_1,\ldots,a_d) \in
V(\mathfrak{m})$, ce qui conclut.
\end{proof}

En fait, dans le cours de cette démonstration, on a montré (dans le
cas particulier où on s'est placé, mais c'est vrai en général) :
\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]
Soit $k$ un corps algébriquement clos.  Tout idéal maximal
$\mathfrak{m}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme
$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_d)} := \{f : f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$
pour un certain $(x_1,\ldots,x_d) \in k^d$.
\end{prop}

\begin{thm}[Nullstellensatz = théorème des zéros de Hilbert]
Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ : alors $\mathfrak{Z}(V(I)) =
\surd I$ (le radical de $I$).
\end{thm}
\begin{proof}
On sait que $\surd I \subseteq \mathfrak{Z}(V(I))$ et il s'agit de
montrer la réciproque.  Soit $f \in \mathfrak{Z}(V(I))$ : on veut
prouver $f\in I$.  On vérifie facilement que ceci revient à montrer
que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$ de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est
l'idéal unité.  Or $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] =
k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$.  Soit $J$ l'idéal engendré par $I$ et
$zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que $V(J) = \varnothing$
(dans $k^{d+1}$), donc le Nullstellensatz faible entraîne $J =
k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : ceci donne $I[\frac{1}{f}] =
k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$.
\end{proof}


%
%
%

\section{TODO}

Crash-course de théorie de Galois.

Géométrie algébrique affine facile (idéaux de $k[x_1,\ldots,x_n]$ avec
$k$ alg\textsuperscript{t} clos, Nullsellensatz).

Introduction à l'espace projectif.

Un peu d'abstract nonsense.

Bases de Gröbner.

Courbes et corps de dimension $1$.


%
%
%
\end{document}