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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2015-11-30 16:18:14 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2015-11-30 16:18:14 +0100
commitec061d101ea25ff5fee85ac154573177672ccbab (patch)
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mitro206-ec061d101ea25ff5fee85ac154573177672ccbab.zip
Choquet's topological game.
-rw-r--r--notes-mitro206.tex18
1 files changed, 17 insertions, 1 deletions
diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index b4fba25..9ef6428 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -115,7 +115,10 @@ fonction de l'état qui lui est présentée), et d'aléa éventuel. On
peut ainsi résumer le jeu en : chaque joueur choisit une stratégie, et
la règle du jeu définit alors un gain pour chaque joueur. Les
stratégies peuvent être contraintes de différentes manières (par
-exemple : être calculables par une machine de Turing).
+exemple : être calculables par une machine de Turing). Une stratégie
+est dite \textbf{gagnante} si le joueur qui l'utilise gagne le jeu
+(supposé avoir une notion de « joueur gagnant ») quels que soient les
+coups choisis par l'autre joueur.
Il faut aussi se poser la question de si les joueurs peuvent
communiquer entre eux (et si oui, s'ils peuvent prouver leur honnêteté
@@ -344,6 +347,19 @@ Cet exemple sert à illustrer le fait que dans l'étude des jeux sous
forme normale, l'hypothèse de finitude des choix sera généralement
essentielle.
+\thingy Le \textbf{jeu topologique de Choquet} : soit $X$ un espace
+métrique (ou topologique) fixé à l'avance. Uriel et Vania choisissent
+tour à tour un ouvert de ($X$ contenu dans) l'ouvert précédemment
+choisi : i.e., Uriel choisit $U_0 \subseteq X$, puis Vania choisit
+$V_0 \subseteq U_0$, puis Uriel choisit $U_1 \subseteq V_0$ et ainsi
+de suite. Le jeu continue pendant un nombre infini de tours indicés
+par les entiers naturels. À la fin, on a bien sûr
+$\bigcap_{n=0}^{\infty} U_n = \bigcap_{n=0}^{\infty} V_n$ : on dit
+qu'Uriel gagne le jeu si cette intersection est vide, Vania le gagne
+si elle est non-vide. On peut se convaincre que si $X = \mathbb{Q}$,
+alors Uriel possède une stratégie gagnante, tandis que si $X =
+\mathbb{R}$ c'est Vivien qui en a une.
+
\subsection{Remarques}