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+++ b/controle-20170419.tex
@@ -127,13 +127,13 @@ On s'intéresse dans cet exercice au jeu de \emph{Hackenbush impartial
   en arbre}, défini comme suit.  L'état du jeu est représenté par un
 arbre (fini, enraciné\footnote{C'est-à-dire que la racine fait partie
   de la donnée de l'arbre, ce qui est la convention la plus
-  courante.}).  Deux joueurs alternent, et chacun, quand vient son
-tour, choisit une arête de l'arbre et l'efface, ce qui fait
-automatiquement disparaître du même coup tout le sous-arbre qui
-descendait de cette arête (voir figure).  Le jeu se termine lorsque
-plus aucun coup n'est possible (c'est-à-dire que l'arbre est réduit à
-sa seule racine), auquel cas, selon la convention habituelle, le
-joueur qui ne peut plus jouer a perdu.
+  courante.}).  Deux joueurs alternent et chacun à son tour choisit
+une arête de l'arbre et l'efface, ce qui fait automatiquement
+disparaître du même coup tout le sous-arbre qui descendait de cette
+arête (voir figure).  Le jeu se termine lorsque plus aucun coup n'est
+possible (c'est-à-dire que l'arbre est réduit à sa seule racine),
+auquel cas, selon la convention habituelle, le joueur qui ne peut plus
+jouer a perdu.
 
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[baseline=0]
@@ -195,12 +195,13 @@ racines $y_1,\ldots,y_r$ et soient $T'_1,\ldots,T'_r$ les arbres de
 racine $x$ où $T'_i$ est formé de $x$ et de $T_i$ (avec une arête
 entre $x$ et $y_i$) : expliquer pourquoi la position (représentée par
 l'arbre) $T$ est la somme de nim de (celles représentées par)
-$T'_1,\ldots,T'_r$.
-
-Qu'en déduit-on sur la valeur de Grundy de la position $T$ ?
+$T'_1,\ldots,T'_r$.  Qu'en déduit-on sur la valeur de Grundy de la
+position $T$ ?
 
 \smallbreak
 
+\centerline{* * *}
+
 Indépendamment de ce qui précède, on va considérer une nouvelle
 opération sur les jeux : si $G$ est un jeu combinatoire impartial, vu
 comme un graphe orienté (bien-fondé), on définit un jeu noté $*{:}G$
@@ -313,7 +314,7 @@ uns des autres un élément de l'ensemble $\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}$ :
 Il sera utile de remarquer que les joueurs ont des rôles complètement
 symétriques, et que les options sont également symétriques.
 
-(Attention, même si la somme des gans des trois joueurs vaut
+(Attention, même si la somme des gains des trois joueurs vaut
 toujours $0$, ce n'est pas un « jeu à somme nulle » au sens classique,
 car ces derniers ne sont définis que pour \emph{deux} joueurs.)