More on the intuitive explanation of ordinals: decreasing sequences terminate.

1 files changed, 35 insertions, 1 deletions

diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index ba84960..175b1a6 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -3296,7 +3296,41 @@ $\omega+1,\omega+2,\omega+3,\ldots$, après quoi vient $\omega\cdot 2$
 \thingy On pourra ajouter les ordinaux, et les multiplier, et même
 élever un ordinal à la puissance d'un autre, mais il n'y aura pas de
 soustraction ($\omega-1$ n'a pas de sens, en tout cas pas en tant
-qu'ordinal, parce que $\omega$ est le plus petit ordinal infini).
+qu'ordinal, parce que $\omega$ est le plus petit ordinal infini).  Les
+ordinaux ont de nombreux points en commun avec les entiers naturels
+(l'addition est associative, la multiplication aussi, on peut les
+écrire en binaire, etc.), mais aussi des différences importantes
+(l'addition n'est pas commutative : on a $1+\omega = \omega$ mais
+$\omega+1 > \omega$).
+
+\thingy Ce qui importe pour la théorie des jeux est le fait suivant :
+\emph{toute suite strictement décroissante d'ordinaux est finie}
+(généralisation du fait que toute suite strictement d'entiers naturels
+est finie).  À cause de ça, les ordinaux peuvent servir à « mesurer »
+toutes sortes de processus qui terminent à coup sûr en temps fini, ou
+à généraliser les entiers naturels pour toutes sortes de processus qui
+terminent à coup sûr en temps fini mais pas en un nombre d'étapes
+borné \textit{a priori}.
+
+Par exemple, on peut imaginer que le dessin de la figure ci-dessus
+(figurant les ordinaux $<\omega^2$) représente une rangée d'allumettes
+qu'on pourrait utiliser dans un jeu de nim
+(cf. \ref{introduction-nim-game}) : si on convient que les allumettes
+doivent être effacées \emph{par la droite}, ce qui revient à diminuer
+strictement l'ordinal qui les compte (intialement $\omega^2$), la
+ligne sera toujours vidée en temps fini même si les joueurs essaient
+de la faire durer le plus longtemps possible (le premier coup va faire
+tomber l'ordinal $\omega^2$ à $\omega\cdot k + n$ avec
+$k,n\in\mathbb{N}$, après quoi les coups suivants l'amèneront au plus
+à $\omega\cdot k + n'$ avec $n'<n$ qui va finir par tomber à $0$, puis
+on tombe à $\omega\cdot k' + m$ avec $k'<k$, et en continuant ainsi on
+finit forcément par retirer toutes les allumettes).
+
+Plus formellement, quel que soit l'ordinal $\alpha$, l'ensemble
+$\{\beta : \beta<\alpha\}$ des ordinaux plus petits, vu comme un
+graphe pour la relation $>$ (i.e., on fait pointer une arête orientée
+de chaque ordinal $\beta$ vers chaque ordinal strictement plus petit),
+est bien-fondé.
 
 
 %