Briefly describe the nimber and (surreal) number associated to \alpha.

1 files changed, 49 insertions, 3 deletions

diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex
index a4d50aa..9c296df 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -3440,7 +3440,8 @@ l'hypothèse d'induction qu'elle est déjà définie pour les
 ordinaux $<\alpha$ au moment de la définir pour $\alpha$.
 \end{center}
 
-\thingy Ce qui importe surtout pour la théorie des jeux est le fait suivant :
+\thingy\label{decreasing-sequences-of-ordinals-terminate}
+Ce qui importe surtout pour la théorie des jeux est le fait suivant :
 \begin{center}
 \emph{toute suite strictement décroissante d'ordinaux est finie}
 \end{center}
@@ -3471,7 +3472,8 @@ graphe pour la relation $>$ (i.e., on fait pointer une arête orientée
 de chaque ordinal $\beta$ vers chaque ordinal strictement plus petit),
 est bien-fondé, ou de façon équivalente, bien-ordonné.
 
-\thingy Voici une façon imagée d'y penser qui peut servir à faire le
+\thingy\label{ordinal-counting-genies-story}
+Voici une façon imagée d'y penser qui peut servir à faire le
 lien avec la théorie des jeux : imaginons un génie qui exauce des vœux
 en nombre limité (les vœux eux-mêmes sont aussi limités et ne
 permettent certainement pas de faire le vœu d'avoir plus de vœux —
@@ -3638,6 +3640,49 @@ successeurs.  Dans la forme normale de Cantor, un ordinal est
 successeur si et seulement si le dernier terme (le plus à droite) est
 un entier naturel non nul.
 
+\thingy Les ordinaux vont servir à définir différents jeux qui, pris
+isolément, sont extrêmement peu intéressants, mais qui ont la vertu de
+permettre de « mesurer » d'autres jeux : ces jeux ont en commun que,
+partant d'un ordinal $\alpha$, l'un ou l'autre joueur, ou les deux,
+ont la possibilité de le faire décroître (strictement), c'est-à-dire
+de le remplacer par un ordinal $\beta < \alpha$ strictement plus petit
+— comme expliqué en \ref{decreasing-sequences-of-ordinals-terminate},
+ce processus termine forcément.  Dans le cadre esquissé
+en \ref{introduction-graph-game}, on a trois jeux associés à un
+ordinal $\alpha$ :
+\begin{itemize}
+\item Un jeu \emph{impartial}, c'est-à-dire que les deux joueurs ont
+  les mêmes options à partir de n'importe quelle position $\beta \leq
+  \alpha$, à savoir, les ordinaux $\beta' < \beta$ — autrement dit,
+  les deux joueurs peuvent décroître l'ordinal.  Dans le cadre
+  de \ref{introduction-graph-game}, le graphe a pour sommets les
+  ordinaux $\beta \leq \alpha$ avec une arête (« verte », i.e.,
+  utilisable par tout le monde) reliant $\beta$ à $\beta'$ lorsque
+  $\beta'<\beta$.  Il s'agit du jeu de nim
+  (cf. \ref{introduction-nim-game}) avec une seule ligne d'allumettes
+  ayant initialement $\alpha$ allumettes.  Ce jeu s'appelle parfois le
+  « nimbre » associé à l'ordinal $\alpha$.
+\item Deux jeux \emph{partiaux} (=partisans), où un joueur n'a aucun
+  coup possible (il a donc immédiatement perdu si c'est à son tour de
+  jouer, ce qui rend le jeu, pris isolément, encore plus inintéressant
+  que le précédent) : un jeu « bleu » ou « positif », dans lequel seul
+  le joueur « bleu » (également appelé « gauche », « Blaise »...) peut
+  jouer, exactement comme dans le jeu impartial ci-dessus, tandis que
+  l'autre joueur ne peut rien faire, et un jeu « rouge » ou
+  « négatif », dans lequel seul le joueur « rouge » (également appelé
+  « droite », « Roxane »...) peut jouer tandis que l'autre ne peut
+  rien faire.  Dans le cadre de \ref{introduction-graph-game}, le
+  graphe a pour sommets les ordinaux $\beta \leq \alpha$ avec une
+  arête reliant $\beta$ à $\beta'$ lorsque $\beta'<\beta$, ces arêtes
+  étant toutes bleues ou toutes rouges selon le jeu considéré.  Il
+  s'agit d'un jeu qui correspond à un certain avantage du joueur bleu,
+  respectivement rouge, à rapprocher de l'histoire
+  \ref{ordinal-counting-genies-story} ci-dessus.  Le jeu bleu est
+  parfois appelé le « nombre surréel » associé à l'ordinal $\alpha$,
+  tandis que le rouge est l'opposé du bleu.
+\end{itemize}
+
+
 
 \subsection{Ensembles bien-ordonnés et induction transfinie}
 
@@ -3983,7 +4028,8 @@ petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ (qui existe d'après la
 proposition \ref{sup-and-strict-sup-of-sets-of-ordinals} : si on veut,
 c'est $\sup^+\{\alpha\}$) : il est facile de voir que cet ordinal est
 fabriqué en ajoutant un unique élément à la fin d'un ensemble
-bien-ordonné d'ordinal $\alpha$ ; on le note $\alpha+1$.
+bien-ordonné d'ordinal $\alpha$ ; on le note $\alpha+1$, et on a
+$\beta \leq \alpha$ si et seulement si $\beta < \alpha+1$.
 Réciproquement, tout ordinal ayant un plus grand élément (i.e.,
 l'ordinal d'un ensemble bien-ordonné ayant un plus grand élément) est
 un successeur : en effet, si $W$ a un plus grand élément $x$, alors