diff options
author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2016-04-05 15:04:03 +0200 |
---|---|---|
committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2016-04-05 15:04:03 +0200 |
commit | de5c40856f754464ffb6bb1b451530af60d16f7c (patch) | |
tree | 5a9d08eb37fb42eb598612e691634136f32ff264 | |
parent | 9c48c6057e3ea4f294ef672620f3aafef73543a8 (diff) | |
download | mitro206-de5c40856f754464ffb6bb1b451530af60d16f7c.tar.gz mitro206-de5c40856f754464ffb6bb1b451530af60d16f7c.tar.bz2 mitro206-de5c40856f754464ffb6bb1b451530af60d16f7c.zip |
(Forgotten to commit.) Slight improvement of an explanation.
-rw-r--r-- | exercices-ordinaux.tex | 20 |
1 files changed, 12 insertions, 8 deletions
diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex index 6be2488..a7f909a 100644 --- a/exercices-ordinaux.tex +++ b/exercices-ordinaux.tex @@ -240,14 +240,18 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ? = \alpha + \cdots + \alpha$). On a donc $(\omega+1)\cdot n = \omega\cdot n + 1$. -(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est la limite des $\omega\cdot - n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^2$ : en effet, - $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour chaque $n<\omega$, mais - inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a $\gamma < \omega\cdot n$ - pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^2 - = \omega\cdot\omega$ est elle-même la limite des $\omega\cdot n$, - c'est-à-dire le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en - particulier $\gamma < \omega\cdot n + 1$. +(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est donc la limite des + $(\omega+1)\cdot n = \omega\cdot n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette + limite vaut $\omega^2$ : en effet, $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ + pour chaque $n<\omega$, mais inversement, si $\gamma < \omega^2$, on + a $\gamma < \omega\cdot n$ pour un certain $n$ (par exemple en + utilisant le fait que $\omega^2 = \omega\cdot\omega$ est elle-même + la limite des $\omega\cdot n$, c'est-à-dire le plus petit ordinal + supérieur ou égal à eux), et en particulier $\gamma < \omega\cdot n + + 1$ ; ou, si on préfère, $\omega\cdot n \leq \omega\cdot n + 1 \leq + \omega\cdot (n + 1)$ où $\omega\cdot n$ et $\omega\cdot (n+1)$ ont + la même limite $\omega^2$, d'où il résulte que $\omega\cdot n + 1$ + aussi. (e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1$. |