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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-05-26 17:00:12 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-05-26 17:00:12 (GMT)
commitf122b2572dd4852b78417c2edca81e0075efc704 (patch)
tree72532559669a8c4f12df4e160b1ebc1ddd716881 /controle-20160421.tex
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index 4360c6b..46d3629 100644
--- a/controle-20160421.tex
+++ b/controle-20160421.tex
@@ -195,8 +195,8 @@ problème de programmation linéaire suivant :
\text{maximiser\ }v&\text{\ avec}\\
p_U \geq 0\;, \;\; p_V \geq 0&\\
p_U + p_V &= 1\\
-v - 3p_U - 1p_V &\leq 0\;\;\text{(X)}\\
-v - 0p_U - 4p_V &\leq 0\;\;\text{(Y)}\\
+v - 3p_U - 0p_V &\leq 0\;\;\text{(X)}\\
+v - 1p_U - 4p_V &\leq 0\;\;\text{(Y)}\\
\end{aligned}
\right.
\]
@@ -605,7 +605,8 @@ Par induction sur $\alpha$ et $\beta$, on prouve $\beta\otimes\alpha =
de $\alpha$ ou $\beta$ est remplacé par un ordinal strictement plus
petit. Or $\beta\otimes\alpha = \mex \{(\beta\otimes\alpha') \oplus
(\beta'\otimes\alpha) \oplus (\beta'\otimes\alpha') : \alpha'<\alpha,
-\beta'<\beta\}$, et par hypothèse d'induction ceci vaut $\mex
+\beta'<\beta\}$ (en utilisant la commutativité de $\oplus$), et par
+hypothèse d'induction ceci vaut $\mex
\{(\alpha'\otimes\beta) \oplus (\alpha\otimes\beta') \oplus
(\alpha'\otimes\beta') : \alpha'<\alpha, \beta'<\beta\} =
\alpha\otimes\beta$.
@@ -733,7 +734,7 @@ $\alpha^*$ tel que $\alpha\otimes\alpha^* = 1$, c'est-à-dire, un
\emph{inverse} pour le produit de nim. Pour cela, on suppose par
l'absurde le contraire, et on considère $\alpha$ le \emph{plus petit}
ordinal non nul qui n'a pas d'inverse, et on va arriver à une
-contradiction. Pour cela, appelons $\gamma_0 = \sup^+ \big(\{\alpha\}
+contradiction. Pour cela, appelons $\delta_0 = \sup^+ \big(\{\alpha\}
\cup \{\beta^* : \beta<\alpha\} \big)$ (où $\beta^*$ désigne l'inverse
de $\beta$, qu'on a supposé exister vu que $\beta<\alpha$) le plus
petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ et aux inverses des
@@ -771,7 +772,7 @@ déduire que $\alpha\otimes\delta = 1$ et conclure.
\delta$.
(b) Si $0 < \alpha' < \alpha$ et si $\alpha' \otimes \delta < \delta$,
- alors comme $(\alpha')^* < \gamma_0 \leq \delta$, on a
+ alors comme $(\alpha')^* < \delta_0 \leq \delta$, on a
$(\alpha')^*\otimes (\alpha' \otimes \delta) < \delta$ d'après (a).
Or $(\alpha')^* \otimes (\alpha' \otimes \delta) = \delta$ par
associativité et par le fait que $(\alpha')^*$ est l'inverse
@@ -793,8 +794,8 @@ déduire que $\alpha\otimes\delta = 1$ et conclure.
(e) Par définition, $\alpha\otimes\delta$ est le plus petit ordinal
qui n'est pas de la forme $(\alpha'\otimes\delta) \oplus
- (\alpha\otimes\delta') \oplus (\alpha'\otimes\delta') =
- \alpha\otimes\delta'$ pour $\alpha'<\alpha$ et $\delta'<\delta$. Or
+ (\alpha\otimes\delta') \oplus (\alpha'\otimes\delta')$ pour
+ $\alpha'<\alpha$ et $\delta'<\delta$. Or
on a montré en (c) et (d) que cette expression n'est jamais $1$, et
en revanche elle peut être $0$ (pour $\alpha'=\delta'=0$). Le plus
petit ordinal qui n'est pas de cette forme est donc $1$ : mais on a