More examples of games, and a discussion about preposing choices.

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@@ -60,7 +60,7 @@
 
 \section{Introduction et typologie}
 
-\subsection{La notion de jeu mathématique}
+\subsection{La notion de jeu mathématique : généralités}
 
 \thingy Il n'est pas possible de donner une définition générale
 précise de la notion de « jeu mathématique ».  On verra plus loin des
@@ -164,12 +164,13 @@ plus précisément selon le type de jeu).
 \thingy\label{intro-simultaneous-or-sequential} Les coups des joueurs
 peuvent avoir lieu \textbf{simultanément ou séquentiellement}.
 
-(Formellement, il s'agit seulement d'une différence de présentation.
-On peut toujours ramener des coups séquentiels à des coups simultanés
-en n'offrant qu'une seule option à tous les joueurs sauf l'un, et
-réciproquement, on peut ramener des coups simultanés à des coups
-séquentiels en cachant à chaque joueur l'information de ce que l'autre
-a joué.)
+Formellement, il s'agit seulement d'une différence de présentation.
+On peut toujours ramener des coups séquentiels à plusieurs coups
+simultanés en n'offrant qu'une seule option à tous les joueurs sauf
+l'un, et réciproquement, on peut ramener des coups simultanés à des
+coups séquentiels en cachant à chaque joueur l'information de ce que
+l'autre a joué.  La question \ref{question-preposing-moves} est
+cependant plus intéressante.
 
 \thingy Le jeu peut être à \textbf{information parfaite} ou non.  Un
 jeu à information parfaite est un jeu dont la règle ne fait pas
@@ -283,6 +284,54 @@ jouer papier, ciseaux ou puits avec probabilité $\frac{1}{3}$ chacun
 adversaire, et même strictement positif s'il joue pierre avec
 probabilité strictement positive).
 
+\thingy Le \textbf{jeu du partage} ou \textbf{de l'ultimatum} : Alice
+et Bob ont $10$ points à se partager : Alice choisit un $k$ entre $0$
+et $10$ entier (disons), la partie qu'elle se propose de garder pour
+elle, \emph{puis} Bob choisit, en fonction du $k$ proposé par Alice,
+d'accepter ou de refuser le partage : s'il accepte, Alice reçoit le
+gain $k$ et Bob reçoit le gain $10-k$, tandis que si Bob refuse, les
+deux reçoivent $0$.  Cette fois, il ne s'agit pas d'un jeu à somme
+nulle !
+
+Variante : Alice choisit $k$ et \emph{simultanément} Bob choisit
+$\varphi \colon \{0,\ldots,10\} \to \{\textrm{accepte},\penalty0
+\textrm{refuse}\}$.  Si $\varphi(k) = \textrm{accepte}$ alors Alice
+reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que si $\varphi(k) =
+\textrm{refuse}$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$.  Ceci
+revient (cf. \ref{question-preposing-moves}) à demander à Bob de
+préparer sa réponse $\varphi(k)$ à tous les coups possibles d'Alice
+(notons qu'Alice n'a pas connaissance de $\varphi$ quand elle
+choisit $k$, les deux sont choisis simultanément).  On se convainc
+facilement que si Bob accepte $k$, il devrait aussi accepter tous
+les $k'\leq k$, d'où la nouvelle :
+
+Variante : Alice choisit $k$ entre $0$ et $10$ (la somme qu'elle
+propose de se garder) et \emph{simultanément} Bob choisit $\ell$ entre
+$0$ et $10$ (le maximum qu'il accepte qu'Alice garde pour elle) : si
+$k\leq \ell$ alors Alice reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que
+si $k>\ell$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$.
+
+Ce jeu peut sembler paradoxal pour la raison suivante : dans la
+première forme proposée, une fois $k$ choisi, on il semble que Bob ait
+toujours intérêt à accepter le partage dès que $k<10$ (il gagnera
+quelque chose, alors que s'il refuse il ne gagne rien) ; pourtant, on
+a aussi l'impression que refuser un partage pour $k>5$ correspond à
+refuser un chantage (Alice dit en quelque sorte à Bob « si tu
+n'acceptes pas la petite part que je te laisse, tu n'auras rien du
+tout »).
+
+Dans la troisième forme, qui est censée être équivalente, on verra
+qu'il existe plusieurs équilibres de Nash, ceux où $\ell=k$ (les deux
+joueurs sont d'accord sur le partage) et celui où $k=10$ et $\ell=0$
+(les deux joueurs demandent tous les deux la totalité du butin, et
+n'obtiennent rien).  Un « équilibre de Nash » signifie que dans cette
+situation, aucun des joueurs n'améliorerait son gain en changeant
+unilatéralement le coup qu'il joue.
+
+\thingy Le \textbf{dilemme du prisonnier} : Alice et Bob choisissent
+simultanément une option parmi « coopérer » ou « faire défaut ».
+\textcolor{red}{À finir.}
+
 \thingy Un jeu idiot : Alice et Bob choisissent simultanément chacun
 un entier naturel.  Celui qui a choisi le plus grand gagne (en cas
 d'égalité, on peut déclarer le nul, ou décider arbitrairement qu'Alice
@@ -296,6 +345,35 @@ forme normale, l'hypothèse de finitude des choix sera généralement
 essentielle.
 
 
+\subsection{Remarques}
+
+\thingy\label{question-preposing-moves} La question suivante mérite
+l'attention : supposons que, dans un jeu, deux joueurs aient à jouer
+deux coups successifs, disons que le joueur $A$ choisit une option $x$
+parmi un certain ensemble $E$ (typiquement fini), \emph{puis} le
+joueur $B$ choisit, en connaissant le $x$ choisi par $A$, une option
+$y$ parmi un certain ensemble $F$ (typiquement fini).  Revient-il au
+même de demander de choisir \emph{simultanément} pour $A$ un élément
+de $E$ et pour $B$ un élément de l'ensemble $F^E$ des fonctions de $E$
+dans $F$ ?  L'idée étant que $B$ choisit la fonction $\varphi$ qui,
+selon le coup $x \in E$ joué par $A$, déterminera le coup $y :=
+\varphi(x) \in F$ qu'il joue en réponse.  Au moins si $E$ est fini, on
+peut imaginer que $B$ considère mentalement tous les coups que $A$
+pourra jouer et choisit la réponse qu'il y apporterait, déterminant
+ainsi la fonction $\varphi$ (si on préfère, $\varphi$ est une
+stratégie locale pour le prochain coup de $B$).
+
+En principe, les jeux ainsi considérés (le jeu initial, et celui où on
+a demandé à $B$ d'anticiper son choix en le remplaçant par une
+fonction du choix de $A$) devraient être équivalents.  En pratique, il
+se peut qu'on les analyse différemment pour différentes raisons.
+
+Notons que si on permet ou oblige $B$ à communiquer à $A$ la fonction
+$\varphi$ qu'il a choisie, i.e., à s'\emph{engager} irrévocablement
+sur le coup $y$ qu'il jouerait selon le coup $x$ de $A$, on peut
+véritablement changer le jeu.
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