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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 175b1a6..f1f495d 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -2584,7 +2584,15 @@ remarquera la convention faite que $x$ appartient à son propre aval. antisymétrique (i.e., est une relation d'ordre partiel) si et seulement si $G$ est acyclique. Lorsque $G$ est bien-fondé, la relation d'accessibilité est elle-même bien-fondée (au sens où le -graphe qu'elle définit est bien-fondé). +graphe qu'elle définit est bien-fondé) : si on la voit comme une +relation d'ordre partiel ($x>y$ signifiant que $y$ est accessible à +partir de $x$), cela signifie qu'il n'y a pas de suite strictement +décroissante. + +Une relation d'ordre \emph{total} $>$ qui soit bien-fondée, i.e., +telle qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante, est +appelée un \textbf{bon ordre}, ou définir un ensemble +\textbf{bien-ordonné}. \begin{defn}\label{definition-downstream-closed-inductive} Si $G$ est un graphe orienté, on dira qu'un ensemble $P$ de sommets de @@ -3293,6 +3301,12 @@ $\omega+1,\omega+2,\omega+3,\ldots$, après quoi vient $\omega\cdot 2$ \\{\footnotesize (Une rangée de $\omega^2$ allumettes.)} \end{center} +\thingy Les ordinaux servent à mesurer la taille des ensembles +bien-ordonnés (c'est-à-dire, les ensembles totalement ordonnés dans +lesquels il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante) +exactement comme les entiers naturels servent à mesurer la taille des +ensembles finis. + \thingy On pourra ajouter les ordinaux, et les multiplier, et même élever un ordinal à la puissance d'un autre, mais il n'y aura pas de soustraction ($\omega-1$ n'a pas de sens, en tout cas pas en tant @@ -3330,7 +3344,7 @@ Plus formellement, quel que soit l'ordinal $\alpha$, l'ensemble $\{\beta : \beta<\alpha\}$ des ordinaux plus petits, vu comme un graphe pour la relation $>$ (i.e., on fait pointer une arête orientée de chaque ordinal $\beta$ vers chaque ordinal strictement plus petit), -est bien-fondé. +est bien-fondé, ou de façon équivalente, bien-ordonné. % |