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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 618f949..1e78308 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -4019,6 +4019,63 @@ qui permettra de dire que $2^\omega = \omega$ quand on aura défini cet objet). +\subsection{Somme, produit et exponentielle d'ordinaux} + +\thingy Il existe deux façons équivalentes de définir la somme +$\alpha+\beta$ de deux ordinaux. + +La première façon consiste à prendre un ensemble bien-ordonné $W$ tel +que $\alpha = \#W$ et un ensemble bien-ordonné $W'$ tel que $\beta = +\#W'$, et définir $\alpha + \beta := \#W''$ où $W''$ est l'ensemble +bien-ordonné qui est réunion disjointe de $W$ et $W'$ avec l'ordre qui +place $W'$ \emph{après} $W$, c'est-à-dire formellement $W'' := \{(0,w) +: w\in W\} \cup \{(1,w') : w'\in W'\}$ ordonné en posant $(i,w_1) < +(i,w_2)$ ssi $w_1 < w_2$ et $(0,w) < (1,w')$ quels que soient $w\in W$ +et $w' \in W'$ (il est facile de voir qu'il s'agit bien d'un bon +ordre). + +Autrement dit, intuitivement, une rangée de $\alpha+\beta$ allumettes +s'obtient en ajoutant $\beta$ allumettes \emph{après} (i.e., \emph{à + droite d'})une rangée de $\alpha$ allumettes. + +La seconde façon consiste à définir $\alpha+\beta$ par induction +transfinie sur $\beta$ (le \emph{second} terme) : +\begin{itemize} +\item $\alpha + 0 = \alpha$, +\item $\alpha + (\beta+1) = (\alpha+\beta) + 1$ (cas successeur), +\item $\alpha + \delta = \lim_{\xi\to\delta} (\alpha+\xi)$ si $\delta$ + est limite. +\end{itemize} + +Nous ne ferons pas la vérification du fait que ces définitions sont +bien équivalentes, qui n'est cependant pas difficile (il s'agit de +vérifier que la première définition vérifie bien les clauses +inductives de la seconde). + +\thingy Quelques propriétés de l'addition des ordinaux sont les +suivantes : +\begin{itemize} +\item l'addition est associative, c'est-à-dire que + $(\alpha+\beta)+\gamma = \alpha+(\beta+\gamma)$ ; +\item l'ordinal nul est neutre à gauche comme à droite, c'est-à-dire + que $0+\alpha = \alpha = \alpha+0$ ; +\item le successeur de $\alpha$ est $\alpha + 1$ ; +\item l'addition n'est pas commutative en général : par exemple, + $1+\omega = \omega$ (en décalant d'un cran toutes les allumettes) + alors que $\omega + 1 > \omega$ ; +\item l'addition est croissante en chaque variable, et même + strictement croissante en la seconde (si $\alpha\leq\alpha'$ alors + $\alpha+\beta \leq \alpha'+\beta$, et si $\beta<\beta'$ alors + $\alpha+\beta < \alpha+\beta'$ ; le fait que $0<1$ mais $0+\omega = + 1+\omega$ explique qu'il n'y a pas croissante stricte en la première + variable) ; +\item lorsque $\alpha \leq \alpha'$, il existe un unique $\beta$ tel + que $\alpha' = \alpha + \beta$ (certains auteurs le notent $-\alpha + + \alpha'$ : on prendra garde au fait qu'il s'agit d'une + soustraction \emph{à gauche}). +\end{itemize} + + % % |