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diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex index 3f5849e..6be2488 100644 --- a/exercices-ordinaux.tex +++ b/exercices-ordinaux.tex @@ -203,6 +203,84 @@ Dans l'ordre croissant : \spaceout $0$ ; \end{corrige} + +% +% +% + +\exercice + +(a) Que vaut $(\omega+1) + (\omega+1)$ ? + +(b) Plus généralement, que vaut $(\omega+1) + \cdots + (\omega+1)$ +avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ? + +(c) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot n$. + +(d) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot \omega$. + +(e) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot(\omega+1)$. + +(f) En déduire ce que vaut $(\omega+1)^2$. + +\begin{corrige} +(a) On a $(\omega+1) + (\omega+1) = \omega + 1 + \omega + 1 = \omega + + (1 + \omega) + 1 = \omega + \omega + 1 = \omega\cdot 2 + 1$. + +(b) En procédant de même, on voit que dans la somme de $n$ termes + $\omega + 1$, chaque $1$ est absorbé par le $\omega$ qui + \emph{suit}, sauf le dernier $1$ qui demeure : la somme vaut + donc $\omega\cdot n + 1$. + +(c) Quel que soit l'ordinal $\alpha$, la somme $\alpha + \cdots + + \alpha$ avec $n$ termes $\alpha$ vaut $\alpha\cdot n$ (ceci se voit + soit par une récurrence immédiate sur $n$ avec la définition par + induction de la multiplication, soit en utilisant la distributivité + à droite, c'est-à-dire $\alpha\cdot n = \alpha\cdot(1 + \cdots + 1) + = \alpha + \cdots + \alpha$). On a donc $(\omega+1)\cdot n = + \omega\cdot n + 1$. + +(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est la limite des $\omega\cdot + n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^2$ : en effet, + $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour chaque $n<\omega$, mais + inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a $\gamma < \omega\cdot n$ + pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^2 + = \omega\cdot\omega$ est elle-même la limite des $\omega\cdot n$, + c'est-à-dire le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en + particulier $\gamma < \omega\cdot n + 1$. + +(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega + + 1 = \omega^2 + \omega + 1$. + +(f) On a toujours $\alpha^2 = \alpha\cdot\alpha$, donc $(\omega+1)^2 = + \omega^2 + \omega + 1$ comme on vient de le montrer. +\end{corrige} + + + +% +% +% + +\exercice + +On dit qu'un ordinal $\alpha$ est \textbf{infini} lorsque +$\alpha\geq\omega$. Montrer qu'un ordinal est infini si et seulement +si $1+\alpha = \alpha$. + +\begin{corrige} +Si $\alpha$ est infini, on a $\alpha \geq \omega$, donc il existe un +unique ordinal $\beta$ tel que $\alpha = \omega + \beta$. On a alors +$1 + \alpha = 1 + (\omega + \beta) = (1 + \omega) + \beta = \omega + +\beta = \alpha$. + +Si, en revanche, $\alpha$ est fini, c'est-à-dire $\alpha < \omega$, +alors $\alpha$ est un entier naturel, et comme l'addition ordinale sur +les entiers naturels coïncide avec l'addition usuelle sur ceux-ci, on +a $1 + \alpha > \alpha$. +\end{corrige} + + % % % |