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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index d51a7e7..a744989 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -5204,6 +5204,25 @@ faculté la consomme pour tout le monde, et le jeu n'est fini qu'une fois ce tour consommé) : en effet, c'est simplement une reformulation du jeu $G \oplus *1$. +\thingy À côté de la somme de nim définie +en \ref{definition-nim-sum-of-ordinals}, il existe aussi une opération +de \index{nim (produit de)|see{produit de nim}}\defin{produit de nim} +définie inductivement par +\[ +\alpha\otimes\beta := \mex\Big\{(\alpha'\otimes\beta) +\oplus (\alpha\otimes\beta') \oplus (\alpha'\otimes\beta') +: \alpha'<\alpha,\text{~et~}\beta'<\beta\Big\} +\] + +On renvoie à l'exercice \ref{game-for-nim-product} pour une +interprétation de cette opération en termes de jeux, et +à \ref{inductions-on-nim-product} pour plus d'informations sur cette +opération : on y montre notamment qu'elle est commutative et +distributive sur la somme de nim, et en fait, on peut voir que les +deux opérations de nim munissent la classe de tous les ordinaux d'une +structure de corps commutatif (de caractéristique $2$ et +algébriquement clos). + % @@ -5776,6 +5795,11 @@ multiplication peut même être définie entre un nombre réel et [la \section{Exercices}\label{section-exercises} +(Les sections de cette partie sont numérotées de la même manière que +les parties de l'ensemble, et font appel aux notions correspondantes.) + +\medbreak + \setbox0=\vbox\bgroup \subsection{Introduction et typologie} \egroup @@ -7429,7 +7453,7 @@ $(5,4)$ et $(4,4)$ (c'est-à-dire jouer $(\alpha,\beta,\alpha',\beta') \exercice\label{inductions-on-nim-product} On définit inductivement une opération $\alpha\otimes\beta$ -(\emph{produit de nim}) de deux ordinaux $\alpha,\beta$ par +(\defin{produit de nim}) de deux ordinaux $\alpha,\beta$ par $\alpha\otimes\beta := \mex\{(\alpha'\otimes\beta) \oplus (\alpha\otimes\beta') \oplus (\alpha'\otimes\beta') : \alpha'<\alpha, \beta'<\beta\}$ (autrement dit, par la formule (*) de |