diff options
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diff --git a/controle-20170419.tex b/controle-20170419.tex index 4ded72a..5453ec8 100644 --- a/controle-20170419.tex +++ b/controle-20170419.tex @@ -293,6 +293,76 @@ en déduire que si $G\doteq H$ alors $*{:}G \doteq *{:}H$ (où $\doteq$ désigne l'égalité au sens de Conway des jeux partisans). +% +% +% + +\exercice + +On considère le jeu en forme normale suivant : \emph{trois} joueurs +(Alice, Bob et Charlie, par exemple) choisissent indépendamment les +uns des autres un élément de l'ensemble $\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}$ : +\begin{itemize} +\item s'ils ont tous les trois choisi la même option, ils gagnent + tous $0$, +\item si l'un d'entre eux a choisi une option différente des deux + autres, celui qui a choisi cette option gagne $2$ et chacun des deux + autres gagne $-1$. +\end{itemize} + +Il sera utile de remarquer que les joueurs ont des rôles complètement +symétriques, et que les options sont également symétriques. + +(Attention, même si la somme des gans des trois joueurs vaut +toujours $0$, ce n'est pas un « jeu à somme nulle » au sens classique, +car ces derniers ne sont définis que pour \emph{deux} joueurs.) + +\smallbreak + +(1) Donner le tableau des gains du jeu considéré. (On choisira une +façon raisonnable de présenter un tableau à trois entrées, par exemple +comme plusieurs tableaux à deux entrées mis côte à côte.) + +\smallbreak + +Si $p \in [0;1]$, on notera simplement $p$ la stratégie mixte d'un +joueur qui consiste à choisir $\mathtt{1}$ avec probabilité $p$ et +$\mathtt{0}$ avec probabilité $1-p$. + +(2) Vérifier que l'espérance de gain d'Alice si elle joue selon la +stratégie mixte $p$ tandis que Bob joue selon la stratégie mixte $q$ +et Charlie selon la stratégie mixte $r$ vaut : $-2pq -2pr +4qr + 2p - +q -r$. (Ici, $p,q,r$ sont trois réels entre $0$ et $1$.) + +\smallbreak + +(3) On se demande à quelle condition sur la stratégie mixte $q$ jouée +par Bob et la stratégie mixte $r$ jouée par Charlie les options +$\mathtt{0}$ et $\mathtt{1}$ d'Alice sont indifférentes pour elle +(c'est-à-dire, lui apportent la même espérance de gain). Montrer que +c'est le cas ssi $q + r = 1$. + +\smallbreak + +(4) Déduire de la question (3) que si un profil $(p,q,r)$ de +stratégies mixtes est un équilibre de Nash et que $0<p<1$ alors +$q+r=1$. + +\smallbreak + +(5) En déduire tous les équilibres de Nash $(p,q,r)$ du jeu (on pourra +distinguer des cas selon que $p=0$, $p=1$ ou $0<p<1$ et de même pour +$q$ et $r$ ; la symétrie doit permettre de simplifier le travail). + +\smallbreak + +(6) Dans cette question, on modifie le jeu : plutôt que faire leurs +choix indépendamment, les joueurs le font successivement (Alice, puis +Bob, puis Charlie). (a) Que vont faire Bob puis Charlie si Alice +choisit $\mathtt{0}$ ? (b) Informellement, expliquer qui est avantagé +ou désavantagé par cette modification de la règle. + + % |