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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 9073ef4..f187c7f 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -3641,7 +3641,8 @@ un entier naturel non nul. \subsection{Ensembles bien-ordonnés et induction transfinie} -\thingy Un ensemble \textbf{[partiellement] ordonné} est un ensemble +\thingy\label{definition-well-ordered-set} +Un ensemble \textbf{[partiellement] ordonné} est un ensemble muni d'une relation $>$ (d'ordre \emph{strict}) qui soit à la fois \begin{itemize} \item irréflexive ($x>x$ n'est jamais vrai quel que soit $x$), et @@ -3725,6 +3726,10 @@ autrement dit, on peut librement utiliser la valeur de $f(y)$ pour $y<x$, dans la définition de $f(x)$. \end{scho} + + +\subsection{Comparaison d'ensembles bien-ordonnés, et ordinaux} + \thingy Avant d'énoncer les résultats suivants, faisons une remarque évidente et une définition. La remarque est que si $W$ est bien-ordonné et $E \subseteq W$ est un sous-ensemble de $W$, alors $E$ @@ -3890,16 +3895,22 @@ pas égal — ceci résulte d'une induction transfinie sur $x$). Les ordinaux de von Neumann ont l'avantage d'être des ensembles bien-définis et de vérifier $\beta < \alpha$ si et seulement si $\beta \in \alpha$ ; ils ont comme inconvénient d'être peut-être plus -difficiles à visualiser. +difficiles à visualiser. Mais même si on n'identifie pas $\alpha = +\#W$ à l'ensemble des ordinaux strictement plus petits, il est +important de garder à l'esprit que l'ensemble des ordinaux strictment +plus petits est $\{\#\precs(x) : x \in W\}$ (par définition de +l'ordre !), et que $\alpha = \#\{\beta < \alpha\}$ (idem). Le théorème \ref{comparison-of-well-ordered-sets} a la conséquence importante suivante sur les ordinaux : -\begin{thm} +\begin{thm}\label{sets-of-ordinals-are-well-ordered} Tout ensemble d'ordinaux est bien-ordonné : deux ordinaux sont toujours comparables (on a toujours $\beta<\alpha$ ou $\beta>\alpha$ ou $\beta=\alpha$), et il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante d'ordinaux. + +Autrement dit : dans tout ensemble d'ordinaux il y en a un plus petit. \end{thm} \begin{proof} Le théorème \ref{comparison-of-well-ordered-sets} signifie exactement @@ -3912,6 +3923,29 @@ suivant s'écrit $\#\precs(w_i)$ pour un $w_i \in W$, et d'après \ref{triviality-on-comparison-of-initial-segments-in-well-ordered-sets} on devrait avoir une suite strictement décroissante $w_1 > w_2 > \cdots$ dans $W$, ce qui contredit le fait que $W$ est bien-ordonné. + +La dernière affirmation vient de l'équivalence entre (*) et (\dag) +dans \ref{definition-well-ordered-set}. +\end{proof} + +\begin{prop} +Tout ensemble $S$ d'ordinaux a une borne supérieure : autrement dit, +il existe un ordinal $\sup S$ qui est le plus petit majorant (large) +de $S$. +\end{prop} +\begin{proof} +D'après ce qu'on vient de voir (dernière affirmation +de \ref{sets-of-ordinals-are-well-ordered}), il suffit de montrer +qu'il existe un majorant de $S$. Quitte à remplacer $S$ par sa +réunion avec l'ensemble des ordinaux inférieurs à un ordinal +quelconque de $S$ (pour les ordinaux de von Neumann, ceci revient à +remplacer $S$ par $S \cup \bigcup_{\alpha\in S} \alpha$), on peut +supposer que (*) si $\alpha \in S$ et $\beta < \alpha$ alors $\beta +\in S$. On vient de voir que $S$ est bien-ordonné : si $\alpha = +\#S$, montrons qu'il s'agit d'un majorant de $S$ ; or si $\beta \in +S$, on a $\beta = \#\precs_S(\beta)$ d'après l'hypothèse (*) qu'on +vient d'assurer, et la définiton de l'ordre sur les ordinaux donne +$\beta<\alpha$. \end{proof} |