diff options
| -rw-r--r-- | controle-20170419.tex | 111 |
1 files changed, 110 insertions, 1 deletions
diff --git a/controle-20170419.tex b/controle-20170419.tex index bafc332..10862cf 100644 --- a/controle-20170419.tex +++ b/controle-20170419.tex @@ -475,6 +475,27 @@ car ces derniers ne sont définis que pour \emph{deux} joueurs.) façon raisonnable de présenter un tableau à trois entrées, par exemple comme plusieurs tableaux à deux entrées mis côte à côte.) +\begin{corrige} +On fait deux tableaux, l'un pour le cas où Alice joue $\mathtt{0}$, +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cc} +$\mathtt{0}$A, $\downarrow$B, C$\rightarrow$&$\mathtt{0}$&$\mathtt{1}$\\\hline +$\mathtt{0}$&$0,0,0$&$-1,-1,+2$\\ +$\mathtt{1}$&$-1,+2,-1$&$+2,-1,-1$\\ +\end{tabular} +\end{center} +et l'autre pour le cas où Alice joue $\mathtt{1}$, +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cc} +$\mathtt{1}$A, $\downarrow$B, C$\rightarrow$&$\mathtt{0}$&$\mathtt{1}$\\\hline +$\mathtt{0}$&$+2,-1,-1$&$-1,+2,-1$\\ +$\mathtt{1}$&$-1,-1,+2$&$0,0,0$\\ +\end{tabular} +\end{center} +Chacune des entrées doit bien sûr lister trois nombres, pour les gains +d'Alice, Bob et Charlie respectivement. +\end{corrige} + \smallbreak Si $p \in [0;1]$, on notera simplement $p$ la stratégie mixte d'un @@ -486,6 +507,16 @@ stratégie mixte $p$ tandis que Bob joue selon la stratégie mixte $q$ et Charlie selon la stratégie mixte $r$ vaut : $-2pq -2pr +4qr + 2p - q -r$. (Ici, $p,q,r$ sont trois réels entre $0$ et $1$.) +\begin{corrige} +Si Alice joue $\mathtt{0}$, son espérance de gain est $-q(1-r) - +(1-q)r + 2qr$ d'après le premier tableau donné en réponse à la +question précédente, soit $4qr - q - r$. Si Alice joue $\mathtt{1}$, +son espérance de gain vaut $2(1-q)(1-r) -q(1-r) - (1-q)r = 4qr - 3q - +3r + 2$. Si elle joue $p$, son espérance de gain vaut $1-p$ fois $4qr +- q - r$ plus $p$ fois $4qr - 3q - 3r + 2$, ce qui vaut l'expression +$-2pq -2pr +4qr + 2p - q -r$ annoncée. +\end{corrige} + \smallbreak (3) On se demande à quelle condition sur la stratégie mixte $q$ jouée @@ -494,18 +525,77 @@ $\mathtt{0}$ et $\mathtt{1}$ d'Alice sont indifférentes pour elle (c'est-à-dire, lui apportent la même espérance de gain). Montrer que c'est le cas si et seulement si $q + r = 1$. +\begin{corrige} +On cherche à quelle condition la valeur $4qr - q - r$ (qui se retrouve +en substituant $0$ à $p$ dans $-2pq -2pr +4qr + 2p - q -r$) est égale +à $4qr - 3q - 3r + 2$ (obtenue en mettant $p$ à $1$). La différence +entre les deux vaut $2 - 2q - 2r$, qui est donc nulle si et seulement +si $q+r = 1$, comme annoncé. +\end{corrige} + \smallbreak (4) Déduire de la question (3) que si un profil $(p,q,r)$ de stratégies mixtes est un équilibre de Nash et que $0<p<1$ alors $q+r=1$. +\begin{corrige} +Si $(p,q,r)$ est un équilibre de Nash en stratégies mixtes et si +$0<p<1$, c'est-à-dire si Alice pondère effectivement ses deux +stratégies pures, c'est que les gains espérés qu'elles lui apportent +sont égaux (si l'une était strictement meilleure que l'autre, Alice +aurait strictement intérêt à ne jouer que celle-là), c'est-à-dire +$q+r=1$ comme on vient de le voir. +\end{corrige} + \smallbreak (5) En déduire tous les équilibres de Nash $(p,q,r)$ du jeu (on pourra distinguer des cas selon que $p=0$, $p=1$ ou $0<p<1$ et de même pour $q$ et $r$ ; la symétrie doit permettre de simplifier le travail). +\begin{corrige} +Considérons un équilibre de Nash $(p,q,r)$. On a vu en (4) que si +l'un des trois nombres n'est ni $0$ ni $1$, la somme des deux autres +vaut nécessairement $1$. + +(A) Si au moins deux des trois nombres sont strictement entre $0$ et +$1$, disons sans perte de généralité que $p$ et $q$ le sont. Alors +$q+r=1$ et $p+r=1$, ce qui donne $p=q$. Mais le fait que $r=1-q$ avec +$0<q<1$ implique que $0<r<1$. On a donc aussi $p+q=1$, ce qui +implique $p=q=\frac{1}{2}$ et du coup $r=\frac{1}{2}$ puisque le +raisonnement est complètement symétrique. Or il est clair que +$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ est bien un équilibre de Nash +(toutes les options deviennent indifférentes pour tout le monde). + +(B) Si un seul des trois nombres est strictement entre $0$ et $1$, +disons sans perte de généralité que $p$ l'est. Alors $q+r=1$, et +comme $q$ et $r$ doivent valoir chacun $0$ ou $1$, les seules +possibilités sont $(p,0,1)$ et symétriquement $(p,1,0)$. Vérifions +que $(p,0,1)$ constitue bien un équilibre de Nash, y compris si $p=0$ +ou $p=1$ (le cas $(p,1,0)$ étant bien sûr symétrique) : dans +$(p,0,1)$, Alice a un gain espéré de $-1$ qui ne varie pas selon $p$ ; +Bob y a un gain espéré de $3p-1$, qui est supérieur ou égal au gain +$-3p+2$ qu'il espère obtenir en changeant d'option, et le cas de +Charlie est exactement symétrique. On a donc bien affaire à un +équilibre de Nash. + +(C) Enfin, si $p,q,r$ dont tous dans $\{0,1\}$, on a déjà vu en (B) +que si deux valent $0$ et un vaut $1$ ou le contraire, on a affaire à +un équilibre de Nash. Reste le cas de $(0,0,0)$ ou $(1,1,1)$, et ce +ne sont certainement pas des équilibres de Nash car les trois joueurs +ont intérêt à changer unilatéralement de stratégie. + +Finalement, on a trouvé comme équilibre de Nash : le point isolé +$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, et l'hexagone formé des +segments paramétrés par $(p,0,1)$, $(1,0,r)$, $(1,q,0)$, $(p,1,0)$, +$(0,1,r)$ et $(0,q,1)$ où la seule variable prend une valeur +quelconque dans $[0;1]$ (intuitivement, ce sont des équilibres où deux +joueurs sont en position de gagner, et le troisième, qui est en +position de « faiseur de roi », ne peut pas gagner mais choisit au +hasard lequel des deux autres gagne). +\end{corrige} + \smallbreak (6) Dans cette question, on modifie le jeu : plutôt que faire leurs @@ -514,6 +604,25 @@ successivement (Alice, puis Bob, puis Charlie). (a) Que va faire Bob si Alice choisit $\mathtt{0}$ ? (b) Informellement, expliquer qui est avantagé ou désavantagé par cette modification de la règle. +\begin{corrige} +(a) Si Alice choisit $\mathtt{0}$, Bob a bien sûr intérêt à + choisir $\mathtt{1}$ (car s'il choisit lui-même $\mathtt{0}$, + Charlie choisira $\mathtt{1}$ et Bob a le pire gain possible + de $-1$). Charlie sera alors dans la situation de choisir qui + d'Alice ou de Bob gagne sans pouvoir gagner lui-même (il est + « faiseur de roi »). La situation est complètement symétrique si + Alice choisit $\mathtt{1}$, et le choix d'Alice est complètement + indifférent puisque les deux options sont équivalentes de son point + de vue. + +(b) On peut donc dire que Charlie est désavantagé par le fait de jouer + en dernier : il ne pourra pas gagner, seulement choisir lequel des + deux autres joueurs gagne. (Ceci est un peu paradoxal quand on se + rappelle que dans un jeu à \emph{deux} joueurs à somme nulle, on ne + peut qu'être avantagé par le fait d'avoir connaissance de l'option + choisie par l'adversaire.) +\end{corrige} + % % @@ -678,7 +787,7 @@ is a Nash equilibrium and if $0<p<1$ then $q+r=1$. (5) Use the previous questions to find all Nash equilibria $(p,q,r)$ in the game (one might discuss various cases according as $p=0$, $p=1$ -or $0<p<1$, and similarly for $q$ and $r$; one might use symmetry to +or $0<p<1$, and similarly for $q$ and $r$; the use of symmetry can simplify the task). \smallbreak |