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diff --git a/controle-20180411.tex b/controle-20180411.tex index 6272a14..5c7c197 100644 --- a/controle-20180411.tex +++ b/controle-20180411.tex @@ -105,6 +105,10 @@ L'usage des appareils électroniques est interdit. Durée : 2h +Barème \emph{indicatif} : exercice 1 : $3$ points ; exercice 2 : +$4$ points ; exercice 3 : $10$ points ; exercice 4 : $3$ points ; +points bonus : comme indiqué. + \emph{Avertissement :} Les exercices ne sont pas tous une application immédiate du cours ; il est parfois nécessaire de s'inspirer des techniques ou raisonnements vus en cours pour raisonner dans des @@ -126,6 +130,38 @@ Git: \input{vcline.tex} \exercice +On considère le jeu à deux joueurs dans lequel les joueurs choisissent +indépendamment chacun une option parmi les quatre possibilités +« Terre », « Eau », « Air » et « Feu », et reçoivent des gains donnés +par le tableau suivant : + +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cccc} +$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Terre&Eau&Air&Feu\\\hline +Terre&$0,0$&$-1,+1$&$+2,-2$&$+1,-1$\\ +Eau&$+1,-1$&$0,0$&$-1,+1$&$+2,-2$\\ +Air&$-2,+2$&$+1,-1$&$0,0$&$-1,+1$\\ +Feu&$-1,+1$&$-2,+2$&$+1,-1$&$0,0$\\ +\end{tabular} +\end{center} + +(Le choix d'Alice détermine la ligne du tableau, celui de Bob +détermine la colonne ; la case correspondante indique d'abord le gain +d'Alice, puis celui de Bob.) + +Montrer (c'est-à-dire, vérifier) que la stratégie optimale à ce jeu +consiste à jouer « Eau » avec probabilité $\frac{1}{2}$, et chacun de +« Terre » et « Air » avec probabilité $\frac{1}{4}$ (et ne jamais +jouer « Feu »). + + + +% +% +% + +\exercice + On considère le jeu suivant entre $N$ joueurs (où $N\geq 3$ est fixé) : chaque joueur choisit, indépendamment des autres, une des deux options $E$ (« égoïste ») ou $A$ (« altruiste »). Le but de chaque @@ -217,6 +253,8 @@ déterminer quel joueur a une stratégie gagnante. Traiter l'exemple de la situation initiale où un pion est placé en chacun des sommets $a,b,d,e$ (soit quatre pions au total). +(Les questions (3), (4) et (5) sont indépendantes.) + (3) On modifie maintenant encore un peu le jeu : comme dans la question (2), il y a plusieurs pions sur le graphe, mais maintenant, au lieu de déplacer un pion, un joueur peut aussi choisir d'en retirer @@ -278,10 +316,10 @@ demande pas de majorer le nombre de coups en fonction de $N$). Vous disposez de deux options : indiquez clairement sur votre copie si vous souhaitez \begin{itemize} -\item[(E)] obtenir $1$ point pour cette question, qui sera compté - dans votre note, ou bien -\item[(A)] obtenir $2$ points pour cette question, qui seront - mutualisés entre tous les participants. +\item[(E)] obtenir $1$ point supplémentaire, qui sera ajouté à votre + note, ou bien +\item[(A)] obtenir $2$ points, qui seront mutualisés entre tous les + participants à l'épreuve. \end{itemize} |