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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index b4fba25..9ef6428 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -115,7 +115,10 @@ fonction de l'état qui lui est présentée), et d'aléa éventuel. On peut ainsi résumer le jeu en : chaque joueur choisit une stratégie, et la règle du jeu définit alors un gain pour chaque joueur. Les stratégies peuvent être contraintes de différentes manières (par -exemple : être calculables par une machine de Turing). +exemple : être calculables par une machine de Turing). Une stratégie +est dite \textbf{gagnante} si le joueur qui l'utilise gagne le jeu +(supposé avoir une notion de « joueur gagnant ») quels que soient les +coups choisis par l'autre joueur. Il faut aussi se poser la question de si les joueurs peuvent communiquer entre eux (et si oui, s'ils peuvent prouver leur honnêteté @@ -344,6 +347,19 @@ Cet exemple sert à illustrer le fait que dans l'étude des jeux sous forme normale, l'hypothèse de finitude des choix sera généralement essentielle. +\thingy Le \textbf{jeu topologique de Choquet} : soit $X$ un espace +métrique (ou topologique) fixé à l'avance. Uriel et Vania choisissent +tour à tour un ouvert de ($X$ contenu dans) l'ouvert précédemment +choisi : i.e., Uriel choisit $U_0 \subseteq X$, puis Vania choisit +$V_0 \subseteq U_0$, puis Uriel choisit $U_1 \subseteq V_0$ et ainsi +de suite. Le jeu continue pendant un nombre infini de tours indicés +par les entiers naturels. À la fin, on a bien sûr +$\bigcap_{n=0}^{\infty} U_n = \bigcap_{n=0}^{\infty} V_n$ : on dit +qu'Uriel gagne le jeu si cette intersection est vide, Vania le gagne +si elle est non-vide. On peut se convaincre que si $X = \mathbb{Q}$, +alors Uriel possède une stratégie gagnante, tandis que si $X = +\mathbb{R}$ c'est Vivien qui en a une. + \subsection{Remarques} |