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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 5c44c03..dbe81be 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -3369,6 +3369,45 @@ graphe pour la relation $>$ (i.e., on fait pointer une arête orientée de chaque ordinal $\beta$ vers chaque ordinal strictement plus petit), est bien-fondé, ou de façon équivalente, bien-ordonné. +\thingy Voici une façon imagée d'y penser qui peut servir à faire le +lien avec la théorie des jeux : imaginons un génie qui exauce des vœux +en nombre limité (les vœux eux-mêmes sont aussi limités et ne +permettent certainement pas de faire le vœu d'avoir plus de vœux — +peut-être qu'on ne peut que souhaiter un paquet de carambars, ou de +transformer son ennemi en crapaud, ou d'annuler une transformation en +crapaud qu'on aurait soi-même subie, ou des choses de ce genre). Si +le génie est prêt à exaucer $3$ vœux, on peut imaginer qu'à la fin de +chaque vœu qu'on prononce on doive dire « maintenant, il me reste +$n$ vœux » avec $n$ strictement inférieur à la valeur antérieure +(initialement $3$). + +Cette définition se généralise aux ordinaux : un génie qui exauce +$\alpha$ vœux est un génie qui demande qu'on formule un vœu et qu'on +choisisse un ordinal $\beta < \alpha$, après quoi le vœu est exaucé et +le génie se transforme en un génie qui exauce $\beta$ vœux. + +Ainsi, pour un génie qui exauce $\omega$ vœux on devra, lors du tout +premier vœu qu'on formule, décider quel nombre de vœux il reste, ce +nombre étant un \emph{entier naturel}, aussi grand qu'on le souhaite — +mais fini. Cela peut sembler sans importance (si on a de toute façon +autant de vœux que l'on souhaite, même $N = 10^{1000}$, peu importe +qu'on doive choisir un nombre dès le début). Mais comparons avec un +génie qui exauce $\omega+1$ vœux : pour celui-ci, lors du premier vœu +que l'on formule, on pourra décider qu'il reste $\omega$ vœux et c'est +au vœu suivant qu'on devra redescendre à un entier naturel (et le +choisir). La différence entre avoir $\omega$ et $\omega+1$ vœux +apparaîtra si on imagine un combat entre Aladdin et Jafar où Jafar +utilise des vœux pour transformer Aladdin en crapaud et Aladdin pour +redevenir humain : si Jafar a initialement $\omega$ vœux et Aladdin +aussi, Jafar transforme Aladdin en crapaud et choisit qu'il lui reste +$N$ vœux avec $N$ fini, alors Aladdin redevient humain choisit qu'il +lui reste aussi au moins $N$ vœux, et au final il est sauf ; alors que +si Jafar a initialement $\omega+1$ vœux et Aladdin seulement $\omega$, +Jafar transforme Aladdin en crapaud et tombe à $\omega$, puis Aladdin +est obligé de choisir un $N$ fini en formulant le vœu de redevenir +humain, et Jafar peut choisir au moins $N$ vœux et gagne le combat +(ainsi que quelques paquets de carambars). + \thingy La construction moderne des ordinaux, introduite par von Neumann en 1923, est mathématiquement très élégante mais peut-être d'autant plus difficile à comprendre qu'elle est subtile : |