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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index a284097..1ef6cf7 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -334,51 +334,6 @@ Puits&$+1,-1$&$-1,+1$&$+1,-1$&$0,0$\\ \end{tabular} \end{center} -\thingy Le \textbf{jeu du partage} ou \textbf{de l'ultimatum} : Alice -et Bob ont $10$ points à se partager : Alice choisit un $k$ entre $0$ -et $10$ entier (disons), la partie qu'elle se propose de garder pour -elle, \emph{puis} Bob choisit, en fonction du $k$ proposé par Alice, -d'accepter ou de refuser le partage : s'il accepte, Alice reçoit le -gain $k$ et Bob reçoit le gain $10-k$, tandis que si Bob refuse, les -deux reçoivent $0$. Cette fois, il ne s'agit pas d'un jeu à somme -nulle ! - -Variante : Alice choisit $k$ et \emph{simultanément} Bob choisit -$\varphi \colon \{0,\ldots,10\} \to \{\textrm{accepte},\penalty0 -\textrm{refuse}\}$. Si $\varphi(k) = \textrm{accepte}$ alors Alice -reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que si $\varphi(k) = -\textrm{refuse}$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$. Ceci -revient (cf. \ref{question-preposing-moves}) à demander à Bob de -préparer sa réponse $\varphi(k)$ à tous les coups possibles d'Alice -(notons qu'Alice n'a pas connaissance de $\varphi$ quand elle -choisit $k$, les deux sont choisis simultanément). On se convainc -facilement que si Bob accepte $k$, il devrait aussi accepter tous -les $k'\leq k$, d'où la nouvelle : - -Variante : Alice choisit $k$ entre $0$ et $10$ (la somme qu'elle -propose de se garder) et \emph{simultanément} Bob choisit $\ell$ entre -$0$ et $10$ (le maximum qu'il accepte qu'Alice garde pour elle) : si -$k\leq \ell$ alors Alice reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que -si $k>\ell$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$. - -Ce jeu peut sembler paradoxal pour la raison suivante : dans la -première forme proposée, une fois $k$ choisi, on il semble que Bob ait -toujours intérêt à accepter le partage dès que $k<10$ (il gagnera -quelque chose, alors que s'il refuse il ne gagne rien) ; pourtant, on -a aussi l'impression que refuser un partage pour $k>5$ correspond à -refuser un chantage (Alice dit en quelque sorte à Bob « si tu -n'acceptes pas la petite part que je te laisse, tu n'auras rien du -tout »). - -Dans la troisième forme, qui est censée être équivalente, on verra -qu'il existe plusieurs équilibres de Nash, ceux où $\ell=k$ (les deux -joueurs sont d'accord sur le partage) et celui où $k=10$ et $\ell=0$ -(les deux joueurs demandent tous les deux la totalité du butin, et -n'obtiennent rien). Un « équilibre de Nash » -(cf. \ref{definition-best-response-and-nash-equilibrium}) signifie que -dans cette situation, aucun des joueurs n'améliorerait son gain en -changeant unilatéralement le coup qu'il joue. - \thingy Le \textbf{dilemme du prisonnier} : Alice et Bob choisissent simultanément une option parmi « coopérer » ou « faire défaut ». Les gains sont déterminés par la matrice suivante : @@ -430,8 +385,10 @@ chaque joueur a intérêt à faire le contraire de ce que fait l'autre colombe, Alice a intérêt à jouer faucon). On pourra se convaincre que ce jeu a trois équilibres de Nash -(cf. \ref{definition-best-response-and-nash-equilibrium}) : l'un où -Alice joue colombe et Bob joue faucon, un deuxième où c'est le +(cf. \ref{definition-best-response-and-nash-equilibrium} ; en gros, il +s'agit d'une situation dans laquelle aucun des joueurs n'améliorerait +son gain en changeant \emph{unilatéralement} la stratégie employée) : +l'un où Alice joue colombe et Bob joue faucon, un deuxième où c'est le contraire, et un troisième où chacun joue colombe ou faucon avec les probabilités respectives $\frac{L-X}{W-T + L-X}$ et $\frac{W-T}{W-T + L-X}$ (avec les valeurs ci-desssus : $\frac{2}{3}$ et @@ -464,6 +421,48 @@ $\frac{1}{3}$), pour un gain espéré de $\frac{PQ-N^2}{P+Q-2N}$ (avec les valeurs ci-dessus : $\frac{2}{3}$). Remarquablement, ce gain espéré est inférieur à $Q$. +\thingy Le \textbf{jeu du partage} ou \textbf{de l'ultimatum} : Alice +et Bob ont $10$ points à se partager : Alice choisit un $k$ entre $0$ +et $10$ entier (disons), la partie qu'elle se propose de garder pour +elle, \emph{puis} Bob choisit, en fonction du $k$ proposé par Alice, +d'accepter ou de refuser le partage : s'il accepte, Alice reçoit le +gain $k$ et Bob reçoit le gain $10-k$, tandis que si Bob refuse, les +deux reçoivent $0$. Cette fois, il ne s'agit pas d'un jeu à somme +nulle ! + +Variante : Alice choisit $k$ et \emph{simultanément} Bob choisit +$\varphi \colon \{0,\ldots,10\} \to \{\textrm{accepte},\penalty0 +\textrm{refuse}\}$. Si $\varphi(k) = \textrm{accepte}$ alors Alice +reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que si $\varphi(k) = +\textrm{refuse}$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$. Ceci +revient (cf. \ref{question-preposing-moves}) à demander à Bob de +préparer sa réponse $\varphi(k)$ à tous les coups possibles d'Alice +(notons qu'Alice n'a pas connaissance de $\varphi$ quand elle +choisit $k$, les deux sont choisis simultanément). On se convainc +facilement que si Bob accepte $k$, il devrait aussi accepter tous +les $k'\leq k$, d'où la nouvelle : + +Variante : Alice choisit $k$ entre $0$ et $10$ (la somme qu'elle +propose de se garder) et \emph{simultanément} Bob choisit $\ell$ entre +$0$ et $10$ (le maximum qu'il accepte qu'Alice garde pour elle) : si +$k\leq \ell$ alors Alice reçoit $k$ et Bob reçoit $10-k$, tandis que +si $k>\ell$ alors Alice et Bob reçoivent tous les deux $0$. + +Ce jeu peut sembler paradoxal pour la raison suivante : dans la +première forme proposée, une fois $k$ choisi, on il semble que Bob ait +toujours intérêt à accepter le partage dès que $k<10$ (il gagnera +quelque chose, alors que s'il refuse il ne gagne rien) ; pourtant, on +a aussi l'impression que refuser un partage pour $k>5$ correspond à +refuser un chantage (Alice dit en quelque sorte à Bob « si tu +n'acceptes pas la petite part que je te laisse, tu n'auras rien du +tout »). + +Dans la troisième forme, qui est censée être équivalente, on verra +qu'il existe plusieurs équilibres de Nash, ceux où $\ell=k$ (les deux +joueurs sont d'accord sur le partage) et celui où $k=10$ et $\ell=0$ +(les deux joueurs demandent tous les deux la totalité du butin, et +n'obtiennent rien). + \thingy Un jeu idiot : Alice et Bob choisissent simultanément chacun un entier naturel. Celui qui a choisi le plus grand gagne (en cas d'égalité, on peut déclarer le nul, ou décider arbitrairement qu'Alice |