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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 7d5f1b3..30f16f2 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -68,6 +68,9 @@ Git: \input{vcline.tex} \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} \par} +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + % @@ -1378,7 +1381,61 @@ Dans le jeu de Gale-Stewart $G_X(A)$ : \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} -\textcolor{red}{...} +La démonstration suivante ne fait que (laborieusement) formaliser +l'argument « une stratégie gagnante pour Alice détermine un premier +coup, après quoi elle a une stratégie gagnante, et une stratégie +gagnante pour Bob est prête à répondre à n'importe quel coup d'Alice +après quoi il a une stratégie gagnante » : + +Si Alice (premier joueur) possède une stratégie $\varsigma$ gagnante +dans $G_X(A)$, on pose $x := \varsigma(())$ le premier coup préconisé +par cette stratégie, et on définit +$\varsigma'((x_1,x_2,\ldots,x_{i-1})) = +\varsigma((x,x_1,x_2,\ldots,x_{i-1}))$ pour $i$ pair : cette +définition fait que si $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ est une confrontation où +Alice joue en second selon $\varsigma'$ alors $(x,x_1,x_2,x_3,\ldots)$ +en est une où elle joue en premier selon $\varsigma$, donc cette suite +appartient à $A$ puisque $\varsigma$ est gagnante pour Alice +dans $G_X(A)$, donc $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ appartient à $x^{\$} A$, et +Alice a bien une stratégie gagnante, $\varsigma'$, en jouant en second +dans $G_X(x^{\$} A)$. + +Réciproquement, si Alice possède une stratégie gagnante $\varsigma'$ +en jouant en second dans $G_X(x^{\$} A)$, on définit $\varsigma$ par +$\varsigma(()) = x$ et $\varsigma((x,x_1,x_2,\ldots,x_{i-1})) = +\varsigma'((x_1,x_2,\ldots,x_{i-1}))$ pour $i > 0$ pair : cette +définition fait que si $(x_0,x_1,x_2,x_3,\ldots)$ est une +confrontation où Alice joue en premier selon $\varsigma$ alors $x_0 = +x$ et $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ est confrontation où elle (Alice) joue en +second selon $\varsigma'$, donc cette suite appartient à $x^{\$} A$ +puisque $\varsigma'$ est gagnante pour Alice second joueur +dans $G_X(x^{\$} A)$, donc $(x_0,x_1,x_2,x_3,\ldots)$ appartient +à $A$, et Alice a bien une stratégie gagnante, $\varsigma$, en jouant +en premier dans $G_X(A)$. + +Si Bob (second joueur) possède une stratégie $\tau$ gagnante +dans $G_X(A)$ et si $x \in X$ est quelconque, on définit +$\tau'((x_1,x_2,\ldots,x_{i-1})) = \tau((x,x_1,x_2,\ldots,x_{i-1}))$ +pour $i$ impair : cette définition fait que si $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ +est une confrontation où Bob joue en premier selon $\tau'$ alors +$(x,x_1,x_2,x_3,\ldots)$ en est une où il joue en second selon $\tau$, +donc cette suite n'appartient pas à $A$ puisque $\tau$ est gagnante +pour Bob dans $G_X(A)$, donc $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ n'appartient pas +à $x^{\$} A$, et Bob a bien une stratégie gagnante, $\tau'$, en jouant +en premier dans $G_X(x^{\$} A)$. + +Réciproquement, si Bob possède une stratégie gagnante en jouant en +second dans $G_X(x^{\$} A)$ pour chaque $x\in X$, on en choisit une +$\tau_x$ pour chaque $x$, et on définit $\tau$ par +$\tau((x,x_1,x_2,\ldots,x_{i-1})) = \tau_x((x_1,x_2,\ldots,x_{i-1}))$ +pour $i$ impair : cette définition fait que si +$(x_0,x_1,x_2,x_3,\ldots)$ est une confrontation où Bob joue en second +selon $\tau$ alors $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ est confrontation où il +(Bob) joue en premier selon $\tau_{x_0}$, donc cette suite +n'appartient pas à ${x_0}^{\$} A$ puisque $\tau_{x_0}$ est gagnante +pour Bob premier joueur dans $G_X({x_0}^{\$} A)$, donc +$(x_0,x_1,x_2,x_3,\ldots)$ n'appartient pas à $A$, et Bob a bien une +stratégie gagnante, $\tau$, en jouant en second dans $G_X(A)$. \end{proof} |