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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index fede523..2ccd9ff 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -32,6 +32,7 @@ \newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % +\newcommand{\succr}{\operatorname{succ}} \newcommand{\mex}{\operatorname{mex}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} @@ -772,8 +773,10 @@ de $G$ s'appelle \textbf{sommets} et les éléments de $E$ \textbf{arêtes} de $G$, et si $(x,y) \in E$, on dit qu'il y a une arête allant du sommet $x$ au sommet $y$, ou arête de source $x$ et de cible $y$, ou encore que $y$ est \textbf{atteint} par une arête de -source $x$, ou encore que $y$ est un \textbf{successeur} de $x$. Un -sommet qui n'a pas de successeur est dit \textbf{terminal} dans $G$. +source $x$, ou encore que $y$ est un \textbf{successeur} de $x$, et on +notera $\succr(x) = \{y : (x,y) \in E\}$ l'ensemble des successeurs +de $x$. Un sommet qui n'a pas de successeur est dit \textbf{terminal} +dans $G$. Un tel graphe est dit \textbf{fini} lorsque $G$ est fini (il est clair que $E$ l'est alors aussi). Il est dit \textbf{acyclique} lorsqu'il @@ -883,27 +886,27 @@ petite. \begin{thm}[définition par induction bien-fondée]\label{well-founded-definition} Soit $G$ un graphe orienté bien-fondé et $Z$ un ensemble quelconque. -Notons $\mathrm{succ}(x) = \{y : (x,y) \in E\}$ l'ensemble des +Notons $\succr(x) = \{y : (x,y) \in E\}$ l'ensemble des successeurs d'un sommet $x$ de $G$ (i.e., des $y$ atteints par une arête de source $x$). Appelons $\mathscr{F}$ l'ensemble des couples $(x,f)$ où $x\in G$ et $f$ une fonction de l'ensemble des successeurs de $x$ vers $Z$ (autrement dit, $\mathscr{F}$ est $\bigcup_{x \in G} \big(\{x\}\times -Z^{\mathrm{succ}(x)}\big)$). Soit enfin $\Phi\colon \mathscr{F} \to Z$ +Z^{\succr(x)}\big)$). Soit enfin $\Phi\colon \mathscr{F} \to Z$ une fonction quelconque. Alors il existe une unique fonction $f\colon G \to Z$ telle que pour tout $x \in G$ on ait \[ -f(x) = \Phi(x,\, f|_{\mathrm{succ}(x)}) +f(x) = \Phi(x,\, f|_{\succr(x)}) \] \end{thm} \begin{proof} Montrons d'abord l'unicité : si $f$ et $f'$ vérifient toutes les deux la propriété anoncée, soit $P$ l'ensemble des sommets $x$ de $G$ tels -que $f(x) = f'(x)$. Si $x \in G$ est tel que $\mathrm{succ}(x) -\subseteq P$, c'est-à-dire que $f|_{\mathrm{succ}(x)} = -f'|_{\mathrm{succ}(x)}$, alors $f(x) = \Phi(x,\, -f|_{\mathrm{succ}(x)}) = \Phi(x,\, f'|_{\mathrm{succ}(x)}) = f'(x)$, +que $f(x) = f'(x)$. Si $x \in G$ est tel que $\succr(x) +\subseteq P$, c'est-à-dire que $f|_{\succr(x)} = +f'|_{\succr(x)}$, alors $f(x) = \Phi(x,\, +f|_{\succr(x)}) = \Phi(x,\, f'|_{\succr(x)}) = f'(x)$, autrement dit, $x\in P$. La phrase précédente affirme précisément que $P$ vérifie la propriété entre guillemets dans (\ddag) de \ref{well-founded-induction}, et d'après la proposition en @@ -932,12 +935,11 @@ Soit $G$ un graphe orienté bien-fondé dans lequel chaque sommet n'a qu'un nombre fini de successeurs. En utilisant le théorème \ref{well-founded-definition}, on définit alors une fonction $\rho\colon G \to \mathbb{N}$ par $\rho(x) = \max\{\rho(y) : -y\in\mathrm{succ}(x)\} + 1$ où $\mathrm{succ}(x)$ désigne l'ensemble -des successeurs de $x$ et où on est convenu que $\max\varnothing = +y\in\succr(x)\} + 1$ où on est convenu que $\max\varnothing = -1$ ; formellement, c'est-à-dire qu'on pose $\Phi(x, r) = \max\{r(y) : -y\in\mathrm{succ}(x)\} + 1$ (avec $\Phi(x, r) = 0$ si $x$ est terminal +y\in\succr(x)\} + 1$ (avec $\Phi(x, r) = 0$ si $x$ est terminal dans $G$) et qu'on appelle $\rho$ la fonction telle que $\rho(x) = -\Phi(x, \rho|_{\mathrm{succ}(x)})$ dont l'existence et l'unicité sont +\Phi(x, \rho|_{\succr(x)})$ dont l'existence et l'unicité sont garanties par le théorème. Cette fonction $\rho$ s'appelle la \textbf{fonction rang} sur $G$, on dit que $\rho(x)$ est le rang (ou rang bien-fondé) d'un sommet $x$. @@ -966,12 +968,12 @@ Soit $G$ un graphe orienté bien-fondé dans lequel chaque sommet n'a qu'un nombre fini de successeurs. En utilisant le théorème \ref{well-founded-definition}, on définit alors une fonction $\gamma\colon G \to \mathbb{N}$ par $\gamma(x) = \mex\{\gamma(y) : -y\in\mathrm{succ}(x)\}$ où, si $S\subseteq\mathbb{N}$, on note $\mex S +y\in\succr(x)\}$ où, si $S\subseteq\mathbb{N}$, on note $\mex S := \mathbb{N}\setminus S$ pour le plus petit entier naturel \emph{n'appartenant pas} à $S$ ; formellement, c'est-à-dire qu'on pose -$\Phi(x, g) = \mex\{g(y) : y\in\mathrm{succ}(x)\}$ et qu'on appelle +$\Phi(x, g) = \mex\{g(y) : y\in\succr(x)\}$ et qu'on appelle $\gamma$ la fonction telle que $\gamma(x) = \Phi(x, -\gamma|_{\mathrm{succ}(x)})$ dont l'existence et l'unicité sont +\gamma|_{\succr(x)})$ dont l'existence et l'unicité sont garanties par le théorème. Cette fonction $\gamma$ s'appelle la \textbf{fonction de Grundy} sur $G$, on dit que $\gamma(x)$ est la valeur de Grundy d'un sommet $x$. @@ -983,6 +985,57 @@ successeurs (ceci inclut le cas particulier d'un sommet terminal), tandis qu'un sommet de valeur de Grundy $>0$ est un sommet ayant au moins un sommet de valeur de Grundy $0$ comme successeur. +On verra que la notion de fonction de Grundy, et particulièrement le +fait que la valeur soit nulle ou pas, a énormément d'importance dans +l'étude de la théorie des jeux impartiaux. + +\begin{defn}\label{definition-transitive-collapse} +Soit $G$ un graphe orienté bien-fondé. En utilisant le +théorème \ref{well-founded-definition} (modulo la remarque qui suit), +on définit alors une fonction $f$ sur $G$ par $f(x) = \{f(y) : +y\in\succr(x)\}$. L'image de $G$ par la fonction $f$ (c'est-à-dire +l'ensemble des $f(x)$ pour $x\in G$) s'appelle l'\textbf{écrasement + transitif} ou \textbf{écrasement de Mostowski} de $G$, tandis que +$f$ s'appelle la fonction d'écrasement, et la valeur $f(x)$ (qui n'est +autre que l'écrasement transitif de l'aval de $x$ vu comme un graphe +orienté) s'appelle l'écasement transitif du sommet $x$. +\end{defn} + +\thingy En particulier, un sommet terminal a pour +écrasement $\varnothing$, un sommet qui n'a pour successeurs que des +sommets terminaux a pour écrasement $\{\varnothing\}$, un sommet qui +n'a pour successeurs que de tels sommets a pour écrasement +$\{\{\varnothing\}\}$ tandis que s'il a aussi des sommets terminaux +pour successeurs ce sera $\{\varnothing,\penalty0 \{\varnothing\}\}$, +et ainsi de suite. + +Il y a une subtilité ensembliste dans la définition ci-dessus, c'est +qu'on ne peut pas donner \textit{a priori} un ensemble $Z$ dans lequel +$f$ prend sa valeur : il faut en fait appliquer une généralisation +de \ref{well-founded-definition} où $Z$ est remplacé par l'univers de +tous les ensembles : nous ne rentrerons pas dans ces subtilités, et +admettrons qu'il existe bien une unique fonction $f$ sur $G$ qui +vérifie $f(x) = \{f(y) : y\in\succr(x)\}$ pour chaque $x\in G$. + +\begin{defn} +Un graphe orienté $G$ est dit \textbf{extensionnel} lorsque deux +sommets $x$ et $x'$ ayant le même ensemble de successeurs ($\succr(x) += \succr(x')$) sont égaux. +\end{defn} + +\begin{prop} +Un graphe orienté bien-fondé est extensionnel si et seulement si sa +fonction d'écrasement $f$ définie +en \ref{definition-transitive-collapse} est injective. +\end{prop} +\begin{proof} +Supposons $G$ transitif et montrons par induction bien-fondée que $f$ +est injective sur l'aval de tout sommet $x$. Soit $P$ l'ensemble des +$y$ tels que $f$ restreinte à l'aval de $y$ soit injective. Soit $x$ +un sommet dont tous les successeurs appartiennent à $P$ : +\textcolor{red}{à finir.} +\end{proof} + % % % |