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diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex index a7f909a..f3cbc74 100644 --- a/exercices-ordinaux.tex +++ b/exercices-ordinaux.tex @@ -268,6 +268,73 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ? \exercice +(a) Que vaut $(\omega 2) \times (\omega 2)$ ? + +(b) Plus généralement, que vaut $(\omega 2) \cdots (\omega 2)$ avec +$n$ facteurs $\omega 2$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ? + +(c) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^n$. + +(d) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^\omega$. Comparer avec +$\omega^\omega \cdot 2^\omega$. + +(e) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^{\omega+n}$ pour $n\geq 1$ +entier naturel. + +(f) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^{\omega 2}$. + +\begin{corrige} +(a) On a $(\omega 2) \cdot (\omega 2) = \omega \cdot 2 \cdot \omega + \cdot 2 = \omega \cdot (2 \cdot \omega) \cdot 2 = \omega \cdot + \omega \cdot 2 = \omega^2 \cdot 2$. + +(b) En procédant de même, on voit que dans le produit de $n$ facteurs + $\omega 2$, chaque $2$ est absorbé par le $\omega$ qui \emph{suit}, + sauf le dernier $2$ qui demeure : le produit vaut donc $\omega^n + \cdot 2$. + +(c) Quel que soit l'ordinal $\alpha$, le produit $\alpha \cdots + \alpha$ avec $n$ facteurs $\alpha$ vaut $\alpha^n$ (ceci se voit + soit par une récurrence immédiate sur $n$ avec la définition par + induction de l'exponentiation, soit en écrivant $\alpha^n = + \alpha^{1+\cdots+1} = \alpha \cdots \alpha$). On a donc $(\omega + 2)^n = \omega^n \cdot 2$. + +(d) L'ordinal $(\omega 2)^\omega$ est la limite des $\omega^n \cdot 2$ + pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^\omega$ : en effet, + $\omega^\omega \geq \omega^n \cdot 2$ pour chaque $n<\omega$, mais + inversement, si $\gamma < \omega^\omega$, on a $\gamma < \omega^n$ + pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que + $\omega^\omega$ est lui-même la limite des $\omega^n$, c'est-à-dire + le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en particulier + $\gamma < \omega^n \cdot 2$ ; ou, si on préfère, $\omega^n \leq + \omega^n \cdot 2 \leq \omega^{n+1}$ où $\omega^n$ et $\omega^{n+1}$ + ont la même limite $\omega^\omega$, d'où il résulte que $\omega^n + \cdot 2$ aussi. + + Bref, $(\omega 2)^\omega = \omega^\omega$. En revanche, + $\omega^\omega \cdot 2^\omega = \omega^\omega \cdot \omega = + \omega^{\omega+1}$ est strictement plus grand. + +(e) On a $(\omega 2)^{\omega + n} = (\omega 2)^\omega \cdot (\omega + 2)^n = \omega^\omega \cdot \omega^n \cdot 2$ d'après les questions + précédentes, donc ceci vaut $\omega^{\omega+n} \cdot 2$. + +(f) L'ordinal $(\omega 2)^{\omega 2}$ est la limite des + $\omega^{\omega+n} \cdot 2$ pour $n\to\omega$, et le même + raisonnement qu'en (d) montre que cette limite est + $\omega^{\omega+\omega} = \omega^{\omega 2}$. Bref, $(\omega + 2)^{\omega 2} = \omega^{\omega 2}$. +\end{corrige} + + + +% +% +% + +\exercice + On dit qu'un ordinal $\alpha$ est \textbf{infini} lorsque $\alpha\geq\omega$. Montrer qu'un ordinal est infini si et seulement si $1+\alpha = \alpha$. @@ -285,6 +352,82 @@ a $1 + \alpha > \alpha$. \end{corrige} + +% +% +% + +\exercice + +On rappelle que si $\alpha' \geq \alpha$ sont deux ordinaux, il existe +un unique $\beta$ tel que $\alpha' = \alpha + \beta$. (a) En déduire +que si $\gamma < \gamma'$ alors $\omega^\gamma + \omega^{\gamma'} = +\omega^{\gamma'}$ (on pourra utiliser la conclusion de l'exercice +précédent). (b) Expliquer pourquoi $\omega^{\gamma'} + +\omega^\gamma$, lui, est strictement plus grand que $\omega^{\gamma'}$ +et $\omega^\gamma$. + +\begin{corrige} +(a) Si $\gamma < \gamma'$, il existe $\beta$ tel que $\gamma' = \gamma + + \beta$, si bien qu'on a $\omega^\gamma + \omega^{\gamma'} = + \omega^\gamma + \omega^{\gamma + \beta} = \omega^\gamma + + \omega^\gamma \cdot \omega^\beta = \omega^\gamma (1 + + \omega^\beta)$. La conclusion voulue découle donc du fait que $1 + + \omega^\beta = \omega^\beta$ : or ceci résulte de l'exercice + précédent (on a $\beta \neq 0$ puisque $\gamma' \neq \gamma$, donc + $\beta \geq 1$, donc $\omega^\beta \geq \omega$). + +(b) On a $\omega^\gamma > 0$ donc $\omega^{\gamma'} + \omega^\gamma > + \omega^{\gamma'}$ (par stricte croissance de la somme en la variable + de droite), et comme $\omega^{\gamma'} > \omega^\gamma$, la somme + est également $> \omega^\gamma$. (On pouvait aussi invoquer la + comparaison des formes normales de Cantor.) +\end{corrige} + + + +% +% +% + +\exercice + +(A) (1) Que vaut $2^{\omega+1}$ ?\spaceout (2) Que vaut +$2^{\omega^2}$ ?\spaceout (3) Expliquer pourquoi $\omega^\omega = +\omega\cdot \omega^\omega$. En déduire ce que vaut +$2^{\omega^\omega}$. (À chaque fois, on écrira les ordinaux demandés +en forme normale de Cantor.) + +(B) On suppose que $\varepsilon = \omega^\varepsilon$. (1) Que vaut +$\varepsilon^\varepsilon$ ?\spaceout (2) Que vaut +$\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon}$ (on pourra utiliser un des +deux exercices précédents) ? + +\begin{corrige} +(A) (1) On a $2^{\omega+1} = 2^\omega\cdot 2^1 = \omega\cdot + 2$.\spaceout (2) On a $2^{\omega^2} = 2^{\omega\cdot\omega} = + (2^\omega)^\omega = \omega^\omega$.\spaceout (3) On a $\omega\cdot + \omega^\omega = \omega^1 \cdot \omega^\omega = \omega^{1+\omega} = + \omega^\omega$. On en déduit que $2^{\omega^\omega} = + 2^{\omega\cdot \omega^\omega} = (2^\omega)^{\omega^\omega} = + \omega^{\omega^\omega}$. + +(B) (1) On a $\varepsilon^\varepsilon = + (\omega^\varepsilon)^\varepsilon = \omega^{\varepsilon^2}$ ou, si on + préfère, $\omega^{\omega^{\varepsilon\cdot 2}}$.\spaceout (2) On a + $\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon} = + (\omega^\varepsilon)^{\varepsilon^\varepsilon} = \omega^{\varepsilon + \cdot \varepsilon^\varepsilon} = \omega^{\varepsilon^{1 + + \varepsilon}}$. Or $1 + \varepsilon = \varepsilon$ d'après un + des exercices précédents (parce que $\varepsilon$ est infini ou + parce que la somme est $\omega^0 + \omega^\varepsilon$), donc + $\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon} = + \omega^{\varepsilon^\varepsilon}$. D'après la sous-question + précédente, c'est aussi $\omega^{\omega^{\varepsilon^2}}$ ou encore + $\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon\cdot 2}}}$. +\end{corrige} + + % % % |