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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index ac9033a..dc53cfb 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -364,7 +364,7 @@ les entiers naturels. À la fin, on a bien sûr $\bigcap_{n=0}^{\infty} U_n = \bigcap_{n=0}^{\infty} V_n$ : on dit qu'Uriel gagne le jeu si cette intersection est vide, Vania le gagne si elle est non-vide. On peut se convaincre que si $X = \mathbb{Q}$, alors Uriel possède une -stratégie gagnante, tandis que si $X = \mathbb{R}$ c'est Vivien qui en +stratégie gagnante, tandis que si $X = \mathbb{R}$ c'est Vania qui en a une. \thingy\label{introduction-graph-game} Le jeu d'un graphe : soit $G$ @@ -1345,10 +1345,10 @@ que cela signifie que $x_0$ appartient à la partie bien-fondée \begin{defn} Pour un jeu $G$ comme en \ref{definition-impartial-combinatorial-game}, une -\textbf{stratégie} est une fonction $\varsigma$ de $G$ vers $G \cup -\{\bot\}$ (où $\bot$ signifiant « forfait » ou « non-défini », est un -symbole n'appartenant pas à $G$) telle que $\varsigma(x)$ soit, pour -chaque $x$, un voisin sortant de $x$ ou bien $\bot$. +\textbf{stratégie} est une fonction partielle $\varsigma\colon G +\dasharrow G$ telle que $\varsigma(x)$ soit, s'il est défini, un +voisin sortant de $x$ (s'il n'est pas défini, il faut comprendre que +le joueur est forfait). Une \textbf{partie} de $G$ est une suite finie ou infinie $(x_i)$ de sommets de $G$ telle que $x_0$ soit la position initiale et que pour @@ -1361,18 +1361,17 @@ défini pour tout entier naturel $i$ (ce qui ne peut pas se produire si $G$ est bien-fondé), on dit que la partie est nulle ou que les deux joueurs \textbf{survivent} sans gagner. Lorsque de plus $\varsigma(x_i) = x_{i+1}$ pour chaque $i$ pair pour lequel $x_i$ est -défini (et en interprétant $\bot$ comme « non-défini »), on dit -qu'Alice a joué la partie selon la stratégie $\varsigma$ ; tandis que -si $\tau(x_i) = x_{i+1}$ pour chaque $i$ impair pour lequel $x_i$ est -défini, on dit que Bob a joué la partie selon la stratégie $\tau$. +défini, on dit qu'Alice a joué la partie selon la stratégie +$\varsigma$ ; tandis que si $\tau(x_i) = x_{i+1}$ pour chaque $i$ +impair pour lequel $x_i$ est défini, on dit que Bob a joué la partie +selon la stratégie $\tau$. Si $\varsigma$ et $\tau$ sont deux stratégies, on définit $\varsigma \ast \tau$ comme la partie jouée lorsque Alice joue $\varsigma$ et Bob joue $\tau$ : autrement dit, $x_0$ est la position initiale du jeu, et, si $x_i$ est défini, $x_{i+1}$ est défini par $\varsigma(x_i)$ si -$i$ est pair et $\tau(x_i)$ si $i$ est impair (en convenant que $\bot$ -signifie que le terme de la suite n'est pas défini et que la suite -s'arrête). +$i$ est pair et $\tau(x_i)$ si $i$ est impair (si $x_{i+1}$ n'est pas +défini, la suite s'arrête là). La stratégie $\varsigma$ est dite \textbf{gagnante pour Alice} lorsque Alice gagne toute partie où elle joue selon $\varsigma$. La stratégie |