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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index a4d50aa..9c296df 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -3440,7 +3440,8 @@ l'hypothèse d'induction qu'elle est déjà définie pour les ordinaux $<\alpha$ au moment de la définir pour $\alpha$. \end{center} -\thingy Ce qui importe surtout pour la théorie des jeux est le fait suivant : +\thingy\label{decreasing-sequences-of-ordinals-terminate} +Ce qui importe surtout pour la théorie des jeux est le fait suivant : \begin{center} \emph{toute suite strictement décroissante d'ordinaux est finie} \end{center} @@ -3471,7 +3472,8 @@ graphe pour la relation $>$ (i.e., on fait pointer une arête orientée de chaque ordinal $\beta$ vers chaque ordinal strictement plus petit), est bien-fondé, ou de façon équivalente, bien-ordonné. -\thingy Voici une façon imagée d'y penser qui peut servir à faire le +\thingy\label{ordinal-counting-genies-story} +Voici une façon imagée d'y penser qui peut servir à faire le lien avec la théorie des jeux : imaginons un génie qui exauce des vœux en nombre limité (les vœux eux-mêmes sont aussi limités et ne permettent certainement pas de faire le vœu d'avoir plus de vœux — @@ -3638,6 +3640,49 @@ successeurs. Dans la forme normale de Cantor, un ordinal est successeur si et seulement si le dernier terme (le plus à droite) est un entier naturel non nul. +\thingy Les ordinaux vont servir à définir différents jeux qui, pris +isolément, sont extrêmement peu intéressants, mais qui ont la vertu de +permettre de « mesurer » d'autres jeux : ces jeux ont en commun que, +partant d'un ordinal $\alpha$, l'un ou l'autre joueur, ou les deux, +ont la possibilité de le faire décroître (strictement), c'est-à-dire +de le remplacer par un ordinal $\beta < \alpha$ strictement plus petit +— comme expliqué en \ref{decreasing-sequences-of-ordinals-terminate}, +ce processus termine forcément. Dans le cadre esquissé +en \ref{introduction-graph-game}, on a trois jeux associés à un +ordinal $\alpha$ : +\begin{itemize} +\item Un jeu \emph{impartial}, c'est-à-dire que les deux joueurs ont + les mêmes options à partir de n'importe quelle position $\beta \leq + \alpha$, à savoir, les ordinaux $\beta' < \beta$ — autrement dit, + les deux joueurs peuvent décroître l'ordinal. Dans le cadre + de \ref{introduction-graph-game}, le graphe a pour sommets les + ordinaux $\beta \leq \alpha$ avec une arête (« verte », i.e., + utilisable par tout le monde) reliant $\beta$ à $\beta'$ lorsque + $\beta'<\beta$. Il s'agit du jeu de nim + (cf. \ref{introduction-nim-game}) avec une seule ligne d'allumettes + ayant initialement $\alpha$ allumettes. Ce jeu s'appelle parfois le + « nimbre » associé à l'ordinal $\alpha$. +\item Deux jeux \emph{partiaux} (=partisans), où un joueur n'a aucun + coup possible (il a donc immédiatement perdu si c'est à son tour de + jouer, ce qui rend le jeu, pris isolément, encore plus inintéressant + que le précédent) : un jeu « bleu » ou « positif », dans lequel seul + le joueur « bleu » (également appelé « gauche », « Blaise »...) peut + jouer, exactement comme dans le jeu impartial ci-dessus, tandis que + l'autre joueur ne peut rien faire, et un jeu « rouge » ou + « négatif », dans lequel seul le joueur « rouge » (également appelé + « droite », « Roxane »...) peut jouer tandis que l'autre ne peut + rien faire. Dans le cadre de \ref{introduction-graph-game}, le + graphe a pour sommets les ordinaux $\beta \leq \alpha$ avec une + arête reliant $\beta$ à $\beta'$ lorsque $\beta'<\beta$, ces arêtes + étant toutes bleues ou toutes rouges selon le jeu considéré. Il + s'agit d'un jeu qui correspond à un certain avantage du joueur bleu, + respectivement rouge, à rapprocher de l'histoire + \ref{ordinal-counting-genies-story} ci-dessus. Le jeu bleu est + parfois appelé le « nombre surréel » associé à l'ordinal $\alpha$, + tandis que le rouge est l'opposé du bleu. +\end{itemize} + + \subsection{Ensembles bien-ordonnés et induction transfinie} @@ -3983,7 +4028,8 @@ petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ (qui existe d'après la proposition \ref{sup-and-strict-sup-of-sets-of-ordinals} : si on veut, c'est $\sup^+\{\alpha\}$) : il est facile de voir que cet ordinal est fabriqué en ajoutant un unique élément à la fin d'un ensemble -bien-ordonné d'ordinal $\alpha$ ; on le note $\alpha+1$. +bien-ordonné d'ordinal $\alpha$ ; on le note $\alpha+1$, et on a +$\beta \leq \alpha$ si et seulement si $\beta < \alpha+1$. Réciproquement, tout ordinal ayant un plus grand élément (i.e., l'ordinal d'un ensemble bien-ordonné ayant un plus grand élément) est un successeur : en effet, si $W$ a un plus grand élément $x$, alors |