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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index fce6917..66455b9 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -404,7 +404,8 @@ mutuellement. Ce jeu a été énormément étudié du point de vue économique, psychologique, politique, philosophique, etc., pour trouver des cadres -d'étude justifiant que la coopération est rationnelle, ou pour montrer +d'étude justifiant que la coopération est rationnelle, pour expliquer +en quoi le jeu itéré (=répété) diffère du jeu simple, ou pour montrer que la notion d'équilibre de Nash est perfectible. \thingy Le jeu du \textbf{trouillard}, ou de la \textbf{colombe et du @@ -434,9 +435,35 @@ Alice joue colombe et Bob joue faucon, un deuxième où c'est le contraire, et un troisième où chacun joue colombe ou faucon avec les probabilités respectives $\frac{L-X}{W-T + L-X}$ et $\frac{W-T}{W-T + L-X}$ (avec les valeurs ci-desssus : $\frac{2}{3}$ et -$\frac{1}{3}$), pour un gain attendu de $\frac{LW - TX}{W-T + L-X}$ +$\frac{1}{3}$), pour un gain espéré de $\frac{LW - TX}{W-T + L-X}$ (avec les valeurs ci-dessus : $\frac{4}{3}$). +\thingy La \textbf{guerre des sexes}. Alice et Bob veulent faire du +sport ensemble : Alice préfère l'alpinisme, Bob préfère la boxe, mais +tous les deux préfèrent faire quelque chose avec l'autre que +séparément. D'où les gains suivants : + +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cc} +$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Alpinisme&Boxe\\\hline +Alpinisme&$2,1$&$0,0$\\ +Boxe&$0,0$&$1,2$\\ +\end{tabular} +\end{center} + +Ou plus généralement, en remplaçant $2,1,0$ par trois nombres +$P$ (préféré), $Q$ (autre), $N$ (nul) tels que $P>Q>N$. + +On pourra se convaincre que ce jeu a trois équilibres de Nash +(cf. \ref{definition-best-response-and-nash-equilibrium}) : l'un où +les deux joueurs vont à l'alpinisme, un deuxième où les deux vont à la +boxe, et un troisième où chacun va à son activité préférée avec +probabilité $\frac{P-N}{P+Q-2N}$ et à l'autre avec probabilité +$\frac{Q-N}{P+Q-2N}$ (avec les valeurs ci-dessus : $\frac{2}{3}$ et +$\frac{1}{3}$), pour un gain espéré de $\frac{PQ-N^2}{P+Q-2N}$ (avec +les valeurs ci-dessus : $\frac{2}{3}$). Remarquablement, ce gain +espéré est inférieur à $Q$. + \thingy Un jeu idiot : Alice et Bob choisissent simultanément chacun un entier naturel. Celui qui a choisi le plus grand gagne (en cas d'égalité, on peut déclarer le nul, ou décider arbitrairement qu'Alice |