diff options
| -rw-r--r-- | exercices-ordinaux.tex | 82 |
1 files changed, 44 insertions, 38 deletions
diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex index f3cbc74..182059a 100644 --- a/exercices-ordinaux.tex +++ b/exercices-ordinaux.tex @@ -55,6 +55,7 @@ \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} % +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} \newif\ifcorrige \corrigetrue \newenvironment{corrige}% @@ -66,7 +67,11 @@ % % \begin{document} +\ifcorrige +\title{Exercices sur les ordinaux — Corrigé} +\else \title{Exercices sur les ordinaux} +\fi \author{David A. Madore} \maketitle @@ -91,8 +96,6 @@ Git: \input{vcline.tex} \exercice -\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} - Ranger les ordinaux suivants par ordre croissant : \spaceout $\omega^{\omega+1} + \omega^\omega\cdot 33$ ; \spaceout $\omega\cdot 3 + 42$ ; @@ -198,8 +201,8 @@ Dans l'ordre croissant : \spaceout $0$ ; \spaceout $\omega^{(\omega^\omega + 1)}$ ; \spaceout $\omega^{(\omega^\omega\cdot 2)}$ ; \spaceout $\omega^{\omega^{(\omega+1)}}$ ; -\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega\cdot 2)}}$ ; et enfin -\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega^2)}}$. +\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega\cdot 2)}}$ ; +\spaceout et enfin\spaceout $\omega^{\omega^{(\omega^2)}}$. \end{corrige} @@ -240,21 +243,22 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ? = \alpha + \cdots + \alpha$). On a donc $(\omega+1)\cdot n = \omega\cdot n + 1$. -(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est donc la limite des - $(\omega+1)\cdot n = \omega\cdot n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette - limite vaut $\omega^2$ : en effet, $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ - pour chaque $n<\omega$, mais inversement, si $\gamma < \omega^2$, on - a $\gamma < \omega\cdot n$ pour un certain $n$ (par exemple en +(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est donc la limite + (c'est-à-dire la borne supérieure) des $(\omega+1)\cdot n = + \omega\cdot n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette borne supérieure + vaut $\omega^2$ : en effet, $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour + chaque $n<\omega$, mais inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a + $\gamma < \omega\cdot n$ pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^2 = \omega\cdot\omega$ est elle-même la limite des $\omega\cdot n$, c'est-à-dire le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en particulier $\gamma < \omega\cdot n - + 1$ ; ou, si on préfère, $\omega\cdot n \leq \omega\cdot n + 1 \leq - \omega\cdot (n + 1)$ où $\omega\cdot n$ et $\omega\cdot (n+1)$ ont - la même limite $\omega^2$, d'où il résulte que $\omega\cdot n + 1$ - aussi. + + 1$ ; ou, si on préfère, quel que soit $n$ on a $\omega\cdot n \leq + \omega\cdot n + 1 \leq \omega\cdot (n + 1)$ où $\omega\cdot n$ et + $\omega\cdot (n+1)$ ont la même limite $\omega^2$ quand + $n\to\omega$, d'où il résulte que $\omega\cdot n + 1$ aussi. -(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega - + 1 = \omega^2 + \omega + 1$. +(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + + (\omega + 1) = \omega^2 + \omega + 1$. (f) On a toujours $\alpha^2 = \alpha\cdot\alpha$, donc $(\omega+1)^2 = \omega^2 + \omega + 1$ comme on vient de le montrer. @@ -268,7 +272,7 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ? \exercice -(a) Que vaut $(\omega 2) \times (\omega 2)$ ? +(a) Que vaut $(\omega 2) \cdot (\omega 2)$ ? (b) Plus généralement, que vaut $(\omega 2) \cdots (\omega 2)$ avec $n$ facteurs $\omega 2$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ? @@ -300,17 +304,18 @@ entier naturel. \alpha^{1+\cdots+1} = \alpha \cdots \alpha$). On a donc $(\omega 2)^n = \omega^n \cdot 2$. -(d) L'ordinal $(\omega 2)^\omega$ est la limite des $\omega^n \cdot 2$ - pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^\omega$ : en effet, - $\omega^\omega \geq \omega^n \cdot 2$ pour chaque $n<\omega$, mais - inversement, si $\gamma < \omega^\omega$, on a $\gamma < \omega^n$ - pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que - $\omega^\omega$ est lui-même la limite des $\omega^n$, c'est-à-dire - le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en particulier - $\gamma < \omega^n \cdot 2$ ; ou, si on préfère, $\omega^n \leq - \omega^n \cdot 2 \leq \omega^{n+1}$ où $\omega^n$ et $\omega^{n+1}$ - ont la même limite $\omega^\omega$, d'où il résulte que $\omega^n - \cdot 2$ aussi. +(d) L'ordinal $(\omega 2)^\omega$ est la limite (c'est-à-dire la borne + supérieure) des $\omega^n \cdot 2$ pour $n\to\omega$. Cette borne + supérieure vaut $\omega^\omega$ : en effet, $\omega^\omega \geq + \omega^n \cdot 2$ pour chaque $n<\omega$, mais inversement, si + $\gamma < \omega^\omega$, on a $\gamma < \omega^n$ pour un + certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^\omega$ + est lui-même la limite des $\omega^n$, c'est-à-dire le plus petit + ordinal supérieur ou égal à eux), et en particulier $\gamma < + \omega^n \cdot 2$ ; ou, si on préfère, quel que soit $n$ on a + $\omega^n \leq \omega^n \cdot 2 \leq \omega^{n+1}$ où $\omega^n$ et + $\omega^{n+1}$ ont la même limite $\omega^\omega$ quand + $n\to\omega$, d'où il résulte que $\omega^n \cdot 2$ aussi. Bref, $(\omega 2)^\omega = \omega^\omega$. En revanche, $\omega^\omega \cdot 2^\omega = \omega^\omega \cdot \omega = @@ -360,12 +365,12 @@ a $1 + \alpha > \alpha$. \exercice On rappelle que si $\alpha' \geq \alpha$ sont deux ordinaux, il existe -un unique $\beta$ tel que $\alpha' = \alpha + \beta$. (a) En déduire -que si $\gamma < \gamma'$ alors $\omega^\gamma + \omega^{\gamma'} = -\omega^{\gamma'}$ (on pourra utiliser la conclusion de l'exercice -précédent). (b) Expliquer pourquoi $\omega^{\gamma'} + -\omega^\gamma$, lui, est strictement plus grand que $\omega^{\gamma'}$ -et $\omega^\gamma$. +un unique $\beta$ tel que $\alpha' = \alpha + \beta$.\spaceout (a) En +déduire que si $\gamma < \gamma'$ alors $\omega^\gamma + +\omega^{\gamma'} = \omega^{\gamma'}$ (on pourra utiliser la conclusion +de l'exercice précédent).\spaceout (b) Expliquer pourquoi +$\omega^{\gamma'} + \omega^\gamma$, lui, est strictement plus grand +que $\omega^{\gamma'}$ et $\omega^\gamma$. \begin{corrige} (a) Si $\gamma < \gamma'$, il existe $\beta$ tel que $\gamma' = \gamma @@ -395,13 +400,14 @@ et $\omega^\gamma$. (A) (1) Que vaut $2^{\omega+1}$ ?\spaceout (2) Que vaut $2^{\omega^2}$ ?\spaceout (3) Expliquer pourquoi $\omega^\omega = \omega\cdot \omega^\omega$. En déduire ce que vaut -$2^{\omega^\omega}$. (À chaque fois, on écrira les ordinaux demandés -en forme normale de Cantor.) +$2^{\omega^\omega}$.\spaceout (À chaque fois, on écrira les ordinaux +demandés en forme normale de Cantor.) -(B) On suppose que $\varepsilon = \omega^\varepsilon$. (1) Que vaut -$\varepsilon^\varepsilon$ ?\spaceout (2) Que vaut +(B) On suppose que $\varepsilon = \omega^\varepsilon$.\spaceout +(1) Que vaut $\varepsilon^\varepsilon$ ?\spaceout (2) Que vaut $\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon}$ (on pourra utiliser un des -deux exercices précédents) ? +deux exercices précédents) ?\spaceout (À chaque fois, plusieurs +écritures sont possibles.) \begin{corrige} (A) (1) On a $2^{\omega+1} = 2^\omega\cdot 2^1 = \omega\cdot |