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diff --git a/controle-20250626.tex b/controle-20250626.tex index 00897c6..80dee86 100644 --- a/controle-20250626.tex +++ b/controle-20250626.tex @@ -539,11 +539,39 @@ $\varepsilon = \omega^\varepsilon$. \omega^{\varepsilon^2}$ et que $\varepsilon \cdot \varepsilon^\varepsilon$ vaut la même chose. +\begin{corrige} +On a $\varepsilon^\varepsilon = (\omega^\varepsilon)^\varepsilon = +\omega^{\varepsilon\cdot\varepsilon} = \omega^{\varepsilon^2}$, ce qui +montre la première égalité. + +Quant à la seconde, $\varepsilon \cdot \varepsilon^\varepsilon = +\varepsilon^1 \cdot \varepsilon^\varepsilon = +\varepsilon^{1+\varepsilon} = \varepsilon^\varepsilon$ car +$1+\varepsilon = \varepsilon$ (de façon générale, $1+\gamma = \gamma$ +pour tout ordinal $\gamma\geq\omega$ comme il résulte par exemple du +fait qu'on peut écrire $\gamma = \omega+\gamma'$ donc $1+\gamma = +1+\omega+\gamma' = \omega+\gamma' = \gamma$ ; et le fait qu'ici +$\varepsilon\geq\omega$ résulte du fait que $\varepsilon\neq 0$ donc +$\varepsilon\geq 1$ donc $\varepsilon=\omega^\varepsilon\geq \omega^1 += \omega$). +\end{corrige} + \textbf{(2)} On suppose que $S$ et $T$ sont deux ensembles d'ordinaux tels que $\forall \alpha\in S,\; \exists \beta\in T,\;(\alpha\leq\beta)$ et que $\forall \beta\in T,\; \exists \alpha\in S,\;(\beta\leq\alpha)$. Montrer que $\sup S = \sup T$. +\begin{corrige} +Montrons que $\sup T \geq \sup S$. Pour cela, par définition de $\sup +S$ (plus petit majorant de $S$), il suffit de montrer que $\sup T$ +majore $S$, c'est-à-dire que $\sup T \geq \alpha$ si $\alpha\in S$. +Or la première hypothèse qu'on a faite assure $\beta \geq \alpha$ pour +un certain $\beta\in T$ : a fortiori, on a $\sup T \geq \beta \geq +\alpha$, comme on voulait. + +De façon symétrique, on a $\sup S \geq \sup T$. Donc ils sont égaux. +\end{corrige} + \textbf{(3)} On appelle $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite d'ordinaux définie par récurrence par $\alpha_0 = 1$ et $\alpha_{n+1} = \varepsilon^{\alpha_n}$, et $(\beta_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite @@ -556,9 +584,58 @@ part, et $\varepsilon+1, \omega^{\varepsilon+1}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon+1}}}, \ldots$ de l'autre. Montrer que ces suites ont la même limite. -\textbf{(4)} Montrer que la limite commune trouvée en (3) vérifie -$\eta = \omega^\eta$, et qu'elle est le plus petit ordinal -$\eta>\epsilon$ tel que $\eta = \omega^\eta$. +\begin{corrige} +Posons $S = \{\alpha_n : n\in\mathbb{N}\}$ et $T = \{\beta_n : +n\in\mathbb{N}\}$. Comme ces suites sont croissantes, la limite $\lim +n\to\omega \alpha_n$ est définie comme $\sup S$ et la limite $\lim +n\to\omega \beta_n$ est définie comme $\sup T$. + +En utilisant le résultat du (1), on a $\alpha_2 = +\varepsilon^\varepsilon = \omega^{\varepsilon^2} \geq +\omega^{\varepsilon+1} = \beta_1$. Une récurrence sur $n$ permet +alors de conclure $\alpha_n \geq \beta_{n-1}$ pour tout $n\geq 2$ : en +effet $\alpha_{n+1} = \varepsilon^{\alpha_n} \geq \omega^{\alpha_n} +\geq \omega^{\beta_{n-1}} = \beta_n$. + +Dans l'autre sens, remarquons d'abord que $1+\alpha_n = \alpha_n$ pour +tout $n\geq 1$, donc $\varepsilon\cdot\alpha_n = +\varepsilon\cdot\varepsilon^{\alpha_{n-1}} = +\varepsilon^{1+\alpha_{n-1}} = \varepsilon^{\alpha_{n-1}} = \alpha_n$ +pour tout $n\geq 2$, donc $\varepsilon^{\alpha_n} = +\omega^{\varepsilon\cdot\alpha_n} = \omega^{\alpha_n}$ pour +tout $n\geq 2$. Donc une fois constaté que $\alpha_2 \geq \beta_0$ +(c'est-à-dire $\varepsilon+1 \leq \varepsilon^\varepsilon$), une +récurrence sur $n$ montre que $\alpha_n \geq \beta_{n-2}$ pour +tout $n\geq 2$ : en effet, $\alpha_{n+1} = \varepsilon^{\alpha_n} = +\omega^{\alpha_n} \geq \omega^{\beta_{n-2}} = \beta_{n-1}$. + +On a donc montré que tout élément de $S$ est majoré par un élément de +$T$ et réciproquement : la conclusion du (3) s'applique pour conclure +que $\sup S = \sup T$ et les deux suites ont même limite. +\end{corrige} + +\textbf{(4)} Montrer que la limite commune $\eta$ trouvée en (3) +vérifie $\eta = \omega^\eta$, et qu'elle est le plus petit ordinal +$\gamma>\epsilon$ tel que $\gamma = \omega^\gamma$. + +\begin{corrige} +Si $\eta$ est l'ordinal trouvé en (3), on a $\omega^\eta = +\lim_{\xi\to\eta} \omega^\xi = \sup\{\omega^\xi : \xi<\eta\}$. +D'après (2), ceci vaut aussi $\sup\{\omega^{\beta_n} : +n\in\mathbb{N}\}$ (car tout $\xi<\eta$ est intérieur à un +certain $\beta_n$, et réciproquement tout $\beta_n$ est un +$\xi<\eta$). Or celui-ci n'est autre que $\sup\{\beta_{n+1} : +n\in\mathbb{N}\}$, donc c'est bien $\eta$. + +Par ailleurs, si $\gamma>\varepsilon$ vérifie $\gamma = +\omega^\gamma$, alors on a $\gamma \geq \varepsilon+1 = \beta_0$, et +par récurrence sur $n$ on montre $\gamma \geq \beta_n$ : en effet, +$\gamma = \omega^\gamma \geq \omega^{\beta_n} = \beta_{n+1}$. Par +conséquent, $\gamma \geq \eta$ (vu que $\eta = \sup\{\beta_n\}$), et +comme on a montré ci-dessus que $\eta = \omega^\eta$, il est bien le +plus petit ordinal $\gamma>\epsilon$ tel que $\gamma = \omega^\gamma$. +\end{corrige} + % |