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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 8995aaa..7e5d283 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -1176,10 +1176,10 @@ vers $\mathbb{R}$). \end{defn} Selon l'approche qu'on veut avoir, on peut dire qu'on a défini -$u_i(s)$ comme l'espérance de $u_i(a)$ si chaque $a_j$ est tiré selon -la distribution de probabilité $s_i$ ; ou bien qu'on a utilisé -l'unique prolongement de $u_i$ au produit des simplexes $S_i$ qui soit -affine en chaque variable $s_i$. +$u_i(s)$ comme l'espérance de $u_i(a)$ si chaque $a_j$ est tiré +indépendamment selon la distribution de probabilité $s_i$ ; ou bien +qu'on a utilisé l'unique prolongement de $u_i$ au produit des +simplexes $S_i$ qui soit affine en chaque variable $s_i$. @@ -1265,7 +1265,7 @@ profil $s$ de stratégies, on peut définir continûment un nouveau profil $s^\sharp$ en donnant plus de poids aux options qui donnent un meilleur gain au joueur correspondant — si bien que $s^\sharp$ sera différent de $s$ dès que $s^\sharp$ n'est pas un équilibre de Nash. Comme -la fonction $T \colon s \to s^\sharp$ doit avoir un point fixe, ce point +la fonction $T \colon s \mapsto s^\sharp$ doit avoir un point fixe, ce point fixe sera un équilibre de Nash. \begin{proof}[Démonstration de \ref{theorem-nash-equilibria}] @@ -1340,7 +1340,8 @@ Pour $N=2$, une méthode qui peut fonctionner dans des cas suffisamment petits consiste à énumérer tous les supports (cf. \ref{definition-mixed-strategy-abst}) possibles des stratégies mixtes des joueurs dans un équilibre de Nash, c'est-à-dire toutes les -$(2^{\#A_1}-1)\times(2^{\#A_2}-1)$ données de parties non vides de +$(2^{\#A_1}-1)\penalty0\times\penalty0(2^{\#A_2}-1)$ +données de parties non vides de $A_1$ et $A_2$, et, pour chacune, appliquer le raisonnement suivant : si $s_i$ est une meilleure réponse possible pour le joueur $i$ (contre la stratégie $s_{?i}$ de l'autre joueur) alors \emph{toutes les |