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diff --git a/controle-20250626.tex b/controle-20250626.tex index d03816c..aa134a4 100644 --- a/controle-20250626.tex +++ b/controle-20250626.tex @@ -62,7 +62,7 @@ % \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} \newif\ifcorrige -\corrigefalse +\corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} @@ -130,15 +130,42 @@ nulle défini par la matrice de gains suivante : \begin{center} \begin{tabular}{r|ccc} $\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux\\\hline -Pierre&$\hphantom{+}0$&$-1$&$+1$\\ -Papier&$+1$&$\hphantom{+}0$&$-1$\\ -Ciseaux&$-1$&$+1$&$\hphantom{+}0$\\ +Pierre&$0$&$-1$&$+1$\\ +Papier&$+1$&$0$&$-1$\\ +Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$\\ \end{tabular} \end{center} (Seul le gain d'Alice a été inscrit dans chaque case car les gains des deux joueurs sont opposés.) -Rappeler brièvement quels sont tous les équilibres de Nash de ce jeu. +Quels sont tous les équilibres de Nash de ce jeu ? + +\begin{corrige} +On a vu en cours qu'une stratégie optimale pour l'un ou l'autre joueur +est $\frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} + +\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$ : de fait, la valeur du jeu est nulle car +il est à somme nulle et \emph{symétrique}, et cette stratégie mixte +$\frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} + +\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$ réalise au moins la valeur du jeu contre +n'importe quelle option de l'adversaire. + +Réciproquement, si $p\,\text{Pierre} + q\,\text{Papier} + +r\,\text{Ciseaux}$ est une stratégie optimale d'un joueur (avec +$p,q,r$ positifs de somme $1$), son gain contre les trois stratégies +pures de l'adversaire (à savoir $q-r$ contre Pierre, $r-p$ contre +Papier et $p-q$ contre Ciseaux) doit être positif à chaque fois. On a +donc $q \geq r$ et $r \geq p$ et $p \geq q$, ce qui impose $p=q=r$ +donc ils valent $\frac{1}{3}$. Ceci montre que +$\frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} + +\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$ est la seule stratégie optimale à ce jeu +(quel que soit le joueur). + +Enfin, les équilibres de Nash d'un jeu à somme nuls sont ceux où les +deux joueurs jouent une stratégie optimale, donc il n'y a qu'un seul +ici, c'est celui où Alice et Bob jouent chacun +$\frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} + +\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$. +\end{corrige} \smallskip @@ -164,20 +191,97 @@ quelle condition (nécessaire et suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un équilibre de Nash où les deux joueurs jouent l'option Foobar (de façon certaine) ?\quad\textbf{(c)} À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un équilibre de Nash où les deux -joueurs jouent Pierre ou Foobar chacun avec -probabilité $\frac{1}{2}$ ? +joueurs jouent $\frac{1}{2}\text{Pierre} + \frac{1}{2}\text{Foobar}$ +(i.e., Pierre ou Foobar chacun avec probabilité $\frac{1}{2}$) ? + +\begin{corrige} +\textbf{(a)} En ajoutant une ligne et une colonne pour la stratégie +mixte $M := \frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} + +\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$, le tableau devient : +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cccc|c} +$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&Foobar&$M$\\\hline +Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$-x$&$0$\\ +Papier&$+1$&$0$&$-1$&$-y$&$0$\\ +Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$-z$&$0$\\ +Foobar&$x$&$y$&$z$&$0$&$\frac{1}{3}(x+y+z)$\\\hline +$M$&$0$&$0$&$0$&$-\frac{1}{3}(x+y+z)$&$0$\\ +\end{tabular} +\end{center} +Le profil $(M,M)$ est un équilibre de Nash lorsque $0$ est le plus +grand nombre de sa colonne et le plus petit de sa ligne, c'est-à-dire +exactement lorsque $x+y+z \leq 0$. + +\textbf{(b)} Le profile $(\text{Foobar}, \text{Foobar})$ est un +équilibre de Nash lorsque $0$ est le plus grand nombre de sa colonne +et le plus petit de sa ligne, c'est-à-dire lorsque $x,y,z$ sont tous +positifs. + +\textbf{(c)} En ajoutant une ligne et une colonne pour la stratégie +mixte $N := \frac{1}{2}\text{Pierre} + +\frac{1}{2}\text{Foobar}$, le tableau devient : +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cccc|c} +$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&Foobar&$N$\\\hline +Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$-x$&$-\frac{x}{2}$\\[0.7ex] +Papier&$+1$&$0$&$-1$&$-y$&$-\frac{y-1}{2}$\\[0.7ex] +Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$-z$&$-\frac{z+1}{2}$\\[0.7ex] +Foobar&$x$&$y$&$z$&$0$&$\frac{x}{2}$\\[0.7ex]\hline +$N$&$\frac{x}{2}$&$\frac{y-1}{2}$&$\frac{z+1}{2}$&$-\frac{x}{2}$&$0$\\ +\end{tabular} +\end{center} +Le profil $(N,N)$ est un équilibre de Nash lorsque $0$ est le plus +grand nombre de sa colonne et le plus petit de sa ligne, c'est-à-dire +exactement lorsque $x=0$ et $y\geq 1$ et $z\geq -1$. +\end{corrige} \smallskip \textbf{(3)} On reprend maintenant la matrice de gains écrite en (1), mais cette fois les gains des deux joueurs seront \emph{égaux} au lieu -d'être opposés (ce n'est donc plus un jeu à somme nulle !), le tableau -donnant la valeur du gain commun aux deux joueurs. +d'être opposés (ce n'est donc plus un jeu à somme nulle ! les joueurs +sont alliés et non plus adversaires). Le tableau donne la valeur du +gain commun aux deux joueurs. \textbf{\hphantom{(3)} (a)} Montrer que les équilibres de Nash trouvés en (1) sont encore des équilibres de Nash de ce nouveau jeu.\quad\textbf{(b)} Donner au moins un équilibre de Nash différent -de ceux-ci. +de ceux-ci. Commenter brièvement quant à la différence de gain +éventuelle entre ces équilibres de Nash. + +\begin{corrige} +\textbf{(a)} En ajoutant une ligne et une colonne pour la stratégie +mixte $M := \frac{1}{3}\text{Pierre} + \frac{1}{3}\text{Papier} + +\frac{1}{3}\text{Ciseaux}$, le tableau devient : +\begin{center} +\begin{tabular}{r|ccc|c} +$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&$M$\\\hline +Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$0$\\ +Papier&$+1$&$0$&$-1$&$0$\\ +Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$0$\\\hline +$M$&$0$&$0$&$0$&$0$\\ +\end{tabular} +\end{center} +Le profil $(M,M)$ est bien un équilibre de Nash car $0$ est le plus +grand nombre de sa colonne et le plus grand de sa ligne, ce qui est +bien le cas ici. + +\textbf{(b)} Il y a des équilibres de Nash évidents en stratégies +pures, à savoir tous les $+1$ du tableau : par exemple, si Alice joue +Papier et Bob joue Pierre, ceci constitue bien un équilibre de Nash +(car $+1$ est le plus grand nombre de sa colonne et le plus grand de +sa ligne). + +L'équilibre de Nash trouvé en (a) correspond intuitivement à une +situation où les joueurs ne sont pas synchronisés : ils jouent une +stratégie équilibrée entre les trois options. Dans ce jeu coopératif, +ce n'est pas du tout optimal, le gain espéré étant $0$, mais aucun n'a +d'intérêt à privilégier unilatéralement une des options tant que +l'autre continue à jouer cette stratégie. Dans le cas trouvé en (b), +en revanche, les joueurs se sont synchronisés sur une stratégie qui +les arrange tous les deux, réalisant le gain qui est visiblement le +meilleur possible ici. +\end{corrige} % |