diff options
| -rw-r--r-- | controle-20240422.tex | 17 |
1 files changed, 9 insertions, 8 deletions
diff --git a/controle-20240422.tex b/controle-20240422.tex index 8bab6a4..9350f2a 100644 --- a/controle-20240422.tex +++ b/controle-20240422.tex @@ -312,14 +312,15 @@ $B_\varepsilon(u) := \begin{corrige} Si $\dblunderline{x}$ et $\dblunderline{y}$ coïncident sur les termes $i<\ell$, alors $|\psi(\dblunderline{y})-u| = -|\psi(\dblunderline{y})-\dblunderline{x}| = -\left|\sum_{i=\ell}^{+\infty} \frac{x_i}{b^i}\right| \leq -\sum_{i=\ell}^{+\infty} \left|\frac{x_i}{b^i}\right| \leq -\sum_{i=\ell}^{+\infty} \frac{M}{b^i} = \frac{Mb^\ell}{1-b}$. Cette -quantité tend vers $0$ quand $\ell\to+\infty$, donc il existe $\ell$ -tel qu'elle soit $<\varepsilon$. Ceci montre bien que si -$\dblunderline{y} \in V_\ell(\dblunderline{x})$ on a -$|\psi(\dblunderline{y})-u| < \varepsilon$. +|\psi(\dblunderline{y})-\psi(\dblunderline{x})| = +\left|\sum_{i=\ell}^{+\infty} \frac{y_i - x_i}{b^i}\right| \leq +\sum_{i=\ell}^{+\infty} (\left|\frac{x_i}{b^i}\right| + +\left|\frac{y_i}{b^i}\right|) \leq \sum_{i=\ell}^{+\infty} +\frac{2M}{b^i} = \frac{2Mb^\ell}{1-b}$. Cette quantité tend vers $0$ +quand $\ell\to+\infty$, donc il existe $\ell$ tel qu'elle +soit $<\varepsilon$. Ceci montre bien que si $\dblunderline{y} \in +V_\ell(\dblunderline{x})$ on a $|\psi(\dblunderline{y})-u| < +\varepsilon$. \end{corrige} \textbf{(2)} En déduire que si $U \subseteq \mathbb{R}$ est ouvert (au |