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diff --git a/controle-20190408.tex b/controle-20190408.tex index 1a9e36d..429447b 100644 --- a/controle-20190408.tex +++ b/controle-20190408.tex @@ -354,4 +354,40 @@ possède une stratégie gagnante lorsque $\rho = \alpha\boxplus\beta$. % % % + +\exercice + +Soit $n\geq 3$ un entier naturel. On considère le jeu suivant : Alice +et Bob choisissent chacun en secret un entier naturel $0\leq i\leq +n-1$ et le révèlent simultanément. Si les deux nombres sont égaux, la +partie est nulle ; sinon, le gagnant est celui qui a choisi le plus +grand, \emph{sauf} dans le cas où un joueur a choisi $n-1$ et l'autre +joueur a choisi $0$, et alors c'est celui qui a choisi $0$ qui gagne. + +(On considérera qu'un gain apporte une valeur de $+1$ à celui qui +gagne, une perte une valeur de $-1$ à celui qui perd, et qu'une partie +nulle a une valeur de $0$ pour les deux joueurs.) + +(1) De quelle sorte de jeu s'agit-il ? Écrire explicitement sa +matrice de gains dans le cas $n=5$. Pour des raisons de symétrie, +quelle est la valeur du jeu ? + +(2) Montrer qu'une stratégie mixte optimale consiste à jouer chacune +des options $0$, $n-2$ et $n-1$ avec probabilité $\frac{1}{3}$ (et +jamais les autres). On l'appellera $s_0$. + +(3) Si Alice joue selon la stratégie $s_0$ décrite en (2) et si Bob +joue l'option $i$, quel est le gain espéré de Bob en fonction de $i$ ? + +(4) Déduire de (3) qu'aucune stratégie optimale ne peut avoir une +option autre que $0$, $n-2$ ou $n-1$ dans son support. (On pourra +faire jouer une telle stratégie contre $s_0$.) + +(5) Montrer que la stratégie $s_0$ décrite en (2) est la seule +stratégie optimale de ce jeu. + + +% +% +% \end{document} |