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diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index 4360c6b..46d3629 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -195,8 +195,8 @@ problème de programmation linéaire suivant : \text{maximiser\ }v&\text{\ avec}\\ p_U \geq 0\;, \;\; p_V \geq 0&\\ p_U + p_V &= 1\\ -v - 3p_U - 1p_V &\leq 0\;\;\text{(X)}\\ -v - 0p_U - 4p_V &\leq 0\;\;\text{(Y)}\\ +v - 3p_U - 0p_V &\leq 0\;\;\text{(X)}\\ +v - 1p_U - 4p_V &\leq 0\;\;\text{(Y)}\\ \end{aligned} \right. \] @@ -605,7 +605,8 @@ Par induction sur $\alpha$ et $\beta$, on prouve $\beta\otimes\alpha = de $\alpha$ ou $\beta$ est remplacé par un ordinal strictement plus petit. Or $\beta\otimes\alpha = \mex \{(\beta\otimes\alpha') \oplus (\beta'\otimes\alpha) \oplus (\beta'\otimes\alpha') : \alpha'<\alpha, -\beta'<\beta\}$, et par hypothèse d'induction ceci vaut $\mex +\beta'<\beta\}$ (en utilisant la commutativité de $\oplus$), et par +hypothèse d'induction ceci vaut $\mex \{(\alpha'\otimes\beta) \oplus (\alpha\otimes\beta') \oplus (\alpha'\otimes\beta') : \alpha'<\alpha, \beta'<\beta\} = \alpha\otimes\beta$. @@ -733,7 +734,7 @@ $\alpha^*$ tel que $\alpha\otimes\alpha^* = 1$, c'est-à-dire, un \emph{inverse} pour le produit de nim. Pour cela, on suppose par l'absurde le contraire, et on considère $\alpha$ le \emph{plus petit} ordinal non nul qui n'a pas d'inverse, et on va arriver à une -contradiction. Pour cela, appelons $\gamma_0 = \sup^+ \big(\{\alpha\} +contradiction. Pour cela, appelons $\delta_0 = \sup^+ \big(\{\alpha\} \cup \{\beta^* : \beta<\alpha\} \big)$ (où $\beta^*$ désigne l'inverse de $\beta$, qu'on a supposé exister vu que $\beta<\alpha$) le plus petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ et aux inverses des @@ -771,7 +772,7 @@ déduire que $\alpha\otimes\delta = 1$ et conclure. \delta$. (b) Si $0 < \alpha' < \alpha$ et si $\alpha' \otimes \delta < \delta$, - alors comme $(\alpha')^* < \gamma_0 \leq \delta$, on a + alors comme $(\alpha')^* < \delta_0 \leq \delta$, on a $(\alpha')^*\otimes (\alpha' \otimes \delta) < \delta$ d'après (a). Or $(\alpha')^* \otimes (\alpha' \otimes \delta) = \delta$ par associativité et par le fait que $(\alpha')^*$ est l'inverse @@ -793,8 +794,8 @@ déduire que $\alpha\otimes\delta = 1$ et conclure. (e) Par définition, $\alpha\otimes\delta$ est le plus petit ordinal qui n'est pas de la forme $(\alpha'\otimes\delta) \oplus - (\alpha\otimes\delta') \oplus (\alpha'\otimes\delta') = - \alpha\otimes\delta'$ pour $\alpha'<\alpha$ et $\delta'<\delta$. Or + (\alpha\otimes\delta') \oplus (\alpha'\otimes\delta')$ pour + $\alpha'<\alpha$ et $\delta'<\delta$. Or on a montré en (c) et (d) que cette expression n'est jamais $1$, et en revanche elle peut être $0$ (pour $\alpha'=\delta'=0$). Le plus petit ordinal qui n'est pas de cette forme est donc $1$ : mais on a |