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diff --git a/controle-20180411.tex b/controle-20180411.tex new file mode 100644 index 0000000..ad422b0 --- /dev/null +++ b/controle-20180411.tex @@ -0,0 +1,191 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-mitro206}[notes-mitro206.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}} +\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}} +\newcommand{\precs}{\operatorname{precs}} +\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}} +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\limp}{\Longrightarrow} +\newcommand{\gr}{\operatorname{gr}} +\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} +\newcommand{\fuzzy}{\mathrel{\|}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\par\smallbreak\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théorie des jeux}} +\else +\title{MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théorie des jeux}} +\fi +\author{} +\date{11 avril 2018} +\maketitle + +%% {\footnotesize +%% \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +%% \begin{center} +%% Git: \input{vcline.tex} +%% \end{center} +%% \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +%% \par} + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités +dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon +très visible dans les copies où commence chaque exercice. + +\medbreak + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des appareils électroniques est interdit. + +\medbreak + +Durée : 2h + +\emph{Avertissement :} Les exercices ne sont pas tous une application +immédiate du cours ; il est parfois nécessaire de s'inspirer des +techniques ou raisonnements vus en cours pour raisonner dans des +cadres légèrement différents. + +\vfill +{\noindent\tiny +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + + +% +% +% + +\exercice + +On considère le jeu suivant entre $N$ joueurs (où $N\geq 3$ est +fixé) : chaque joueur choisit, indépendamment des autres, une des deux +options $E$ (« égoïste ») ou $A$ (« altruiste »). Le but de chaque +joueur est de maximiser son gain, indépendamment des autres. Le choix +$E$ apporte un gain de $1$ point au joueur qui le fait (en plus des +gains liés aux choix $A$ des autres comme expliqué dans la phrase +suivante). Le choix $A$ apporte un gain de $2$ points, mais ces gains +sont mutualisés entre \emph{tous} les joueux, y compris ceux qui ont +choisi $E$. Autrement dit, si $k$ joueurs choisissent l'option $A$, +chaque joueur gagne $\frac{2k}{N}$ à cause de ces choix (les $N-k$ +joueurs qui ont choisi $E$ gagnent donc $1 + \frac{2k}{N}$ au total). + +(0) Quel est le gain maximal d'un joueur dans ce jeu ? Quel est le +gain minimal ? + +(1) En supposant fixés les choix effectués par les $N-1$ autres +joueurs, exprimer le gain d'un joueur s'il choisit $E$ d'une part, +$A$ d'autre part ; calculer la différence entre ces deux gains. Quel +est le signe de cette différence ? + +(2) Expliciter tous les équilibres de Nash dans ce jeu (on indiquera +les stratégies pures ou mixtes intervenant dans l'équilibre, et le +gain espéré pour chaque joueur). + +\medskip + +On appelle maintenant \emph{stratégie rationnelle commune} une +stratégie mixte $s$ qui, si elle est suivie par tous les joueurs, +maximise le gain espéré de chaque joueur (il est le même pour chaque +joueur puisqu'on fait justement ici l'hypothèse qu'ils jouent tous +selon la même stratégie $s$). + +(3) Expliciter la ou les stratégie(s) rationnelle(s) commune(s) au jeu +considéré ci-dessus. + +(4) Commenter brièvement quant à la différence entre les réponses aux +questions (2) et (3). + + + +% +% +% + +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Points bonus.} + +(Ceci n'est pas un exercice à résoudre mais un choix à faire.) + +Vous disposez de deux options : indiquez clairement sur votre copie si +vous souhaitez +\begin{itemize} +\item[(E)] obtenir $1$ point pour cette question, qui sera compté + dans votre note, ou bien +\item[(A)] obtenir $2$ points pour cette question, qui seront + mutualisés entre tous les participants. +\end{itemize} + + + +% +% +% +\end{document} |