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diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex index ea5bf29..dd4a76d 100644 --- a/controle-2020qcm.tex +++ b/controle-2020qcm.tex @@ -163,43 +163,6 @@ le gain de Bob est l'opposé de la valeur indiquée) : \begin{center} \begin{tabular}{r|rrrrr} $\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&U&V&W&X&Y\\\hline -U&$0$&$+2$&$0$&$-2$&$+1$\\ -V&$-2$&$0$&$+1$&$+1$&$+2$\\ -W&$0$&$-1$&$0$&$+1$&$+1$\\ -X&$+2$&$-1$&$-1$&$0$&$+2$\\ -Y&$-1$&$-2$&$-1$&$-2$&$0$\\ -%% m = Matrix(QQ, 5, 5, [[0, 2, 0, -2, 1], [-2, 0, 1, 1, 2], [0, -1, 0, 1, 1], [2, -1, -1, 0, 2], [-1, -2, -1, -2, 0]]) -\end{tabular} -\end{center} - -Laquelle des réponses suivantes est une stratégie optimale à ce jeu ? -(Chaque réponse proposée est la liste des probabilités de jouer les -options U,V,W,X,Y dans cet ordre.) - -\rightanswer -$(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, 0, \frac{2}{5}, 0)$ - -\answer -$(0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0)$ - -\answer -$(0, 0, 0, 0, 1)$ - -\answer -$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}, 0)$ - -\end{question} - -\begin{question} - -Considérons le jeu à somme nulle, symétrique, entre Alice et Bob, dont -la matrice des gains est donnée par le tableau suivant (Alice choisit -la ligne, Bob choisit la colonne, le tableau donne le gain d'Alice et -le gain de Bob est l'opposé de la valeur indiquée) : - -\begin{center} -\begin{tabular}{r|rrrrr} -$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&U&V&W&X&Y\\\hline U&$0$&$+1$&$-1$&$0$&$-1$\\ V&$-1$&$0$&$+2$&$-1$&$-1$\\ W&$+1$&$-2$&$0$&$+1$&$+2$\\ @@ -548,34 +511,6 @@ lequel \end{question} -\begin{question} - -Alice et Bob jouent au jeu de type Gale-Stewart suivant : chacun à son -tour choisit un chiffre binaire (soit $0$ soit $1$ : Alice choisit -$a_1$ puis Bob choisit $a_2$ puis Alice choisit $a_3$ et ainsi de -suite). Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le nombre -réel $x$ entre $0$ et $1$ dont l'écriture binaire fractionnaire est -formée de ces chiffres (c'est-à-dire $x = \sum_{i=1}^{+\infty} -a_i\,2^{-i}$, ou $0{.}a_1a_2a_3\ldots$ en écriture binaire) : si $x < -\frac{1}{3}$, Alice gagne, tandis que si $x \geq \frac{1}{3}$, Bob -gagne. (À toutes fins utiles, on rappelle que $\frac{1}{3}$ s'écrit -$0{.}01010101\ldots$ en binaire.) Que pensez-vous de ce jeu ? - -\rightanswer -Bob a une stratégie gagnante - -\answer -Alice a une stratégie gagnante - -\answer -aucun joueur n'a de stratégie gagnante - -\answer -un joueur a une stratégie gagnante, mais il est impossible de savoir -lequel - -\end{question} - \end{qvar} @@ -654,52 +589,6 @@ de départ étant notée $s$ : \draw[->] (n01) -- (n00); \draw[->] (n02) -- (n01); \draw[->] (n11) -- (n10); \draw[->] (n12) -- (n11); \draw[->] (n21) -- (n20); \draw[->] (n22) -- (n21); -\draw[->] (n10) -- (n00); \draw[->] (n20) -- (n10); -\draw[->] (n11) -- (n01); \draw[->] (n21) -- (n11); -\draw[->] (n12) -- (n02); \draw[->] (n22) -- (n12); -\end{tikzpicture} -\end{center} - -Quelle est la valeur de Grundy du jeu (i.e., celle de la -position $s$) ? - -\rightanswer -$0$ - -\answer -$1$ - -\answer -$2$ - -\answer -$3$ - -\answer -$4$ - -\end{question} - -\begin{question} - -On considère le jeu combinatoire (impartial, à information parfaite) -associé au graphe orienté acyclique représenté ci-dessous, la position -de départ étant notée $s$ : - -\begin{center} -\begin{tikzpicture}[>=stealth,thick,text width=5bp,text height=5bp,text depth=0bp] -\node (n00) at (0bp,0bp) [draw,circle] {}; -\node (n01) at (40bp,0bp) [draw,circle] {}; -\node (n02) at (80bp,0bp) [draw,circle] {}; -\node (n10) at (0bp,-40bp) [draw,circle] {}; -\node (n11) at (40bp,-40bp) [draw,circle] {}; -\node (n12) at (80bp,-40bp) [draw,circle] {}; -\node (n20) at (0bp,-80bp) [draw,circle] {}; -\node (n21) at (40bp,-80bp) [draw,circle] {}; -\node (n22) at (80bp,-80bp) [draw,circle] {$s$}; -\draw[->] (n01) -- (n00); \draw[->] (n02) -- (n01); -\draw[->] (n11) -- (n10); \draw[->] (n12) -- (n11); -\draw[->] (n21) -- (n20); \draw[->] (n22) -- (n21); \draw[->] (n11) -- (n00); \draw[->] (n12) -- (n01); \draw[->] (n21) -- (n10); \draw[->] (n22) -- (n11); \draw[->] (n10) -- (n00); \draw[->] (n20) -- (n10); @@ -1012,33 +901,6 @@ $\omega^{\omega^\omega}$ \end{question} -% -% -% - -\begin{question} - -Auquel ordinaux suivants est égal $2^{\omega^2}$ (lire : $2$ puissance -$\omega^2$) ? - -\rightanswer -$\omega^\omega$ - -\answer -$\omega$ - -\answer -$\omega^2$ - -\answer -$\omega^{\omega^2}$ - -\answer -$\omega^{\omega^\omega}$ - -\end{question} - - \end{qcm} % % |