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diff --git a/controle-20250626.tex b/controle-20250626.tex new file mode 100644 index 0000000..d5def48 --- /dev/null +++ b/controle-20250626.tex @@ -0,0 +1,185 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-mitro206}[notes-mitro206.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Whatever} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercise{% +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}} +\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}} +\newcommand{\precs}{\operatorname{precs}} +\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}} +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\limp}{\Longrightarrow} +\newcommand{\gr}{\operatorname{gr}} +\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} +\newcommand{\dur}{\operatorname{dur}} +\newcommand{\fuzzy}{\mathrel{\|}} +% +\newcommand{\dblunderline}[1]{\underline{\underline{#1}}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigefalse +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{CSC-4MI06-TP / MITRO206\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théories des jeux}} +\else +\title{CSC-4MI06-TP / MITRO206\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théories des jeux}} +\fi +\author{} +\date{2025-06-26} +\maketitle + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités +dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon +très visible dans les copies où commence chaque exercice. + +\medbreak + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des appareils électroniques est interdit. + +\medbreak + +Durée : 2h + +\ifcorrige +Ce corrigé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse). +\else +Cet énoncé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse). +\fi + +\vfill +{\noindent\tiny +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + + +% +% +% + +\exercise + +\textbf{(1)} On considère le jeu en forme normale symétrique à somme +nulle défini par la matrice de gain suivante : +\begin{center} +\begin{tabular}{r|ccc} +$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux\\\hline +Pierre&$\hphantom{+}0$&$-1$&$+1$\\ +Papier&$+1$&$\hphantom{+}0$&$-1$\\ +Ciseaux&$-1$&$+1$&$\hphantom{+}0$\\ +\end{tabular} +\end{center} +(Seul le gain d'Alice a été inscrit dans chaque case car les gains des +deux joueurs sont opposés.) + +Rappeler brièvement quels sont tous les équilibres de Nash de ce jeu. + +\smallskip + +\textbf{(2)} On souhaite maintenant ajouter une nouvelle option au jeu +ci-dessus, c'est-à-dire qu'on considère le jeu en forme normale +(toujours symétrique et à somme nulle) défini par la matrice de +gains : +\begin{center} +\begin{tabular}{r|cccc} +$\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&Pierre&Papier&Ciseaux&Foobar\\\hline +Pierre&$0$&$-1$&$+1$&$-x$\\ +Papier&$+1$&$0$&$-1$&$-y$\\ +Ciseaux&$-1$&$+1$&$0$&$-z$\\ +Foobar&$x$&$y$&$z$&$0$\\ +\end{tabular} +\end{center} +(Les trois sous-questions qui suivent sont indépendantes.) + +\textbf{\hphantom{(2)} (a)} À quelle condition (nécessaire et +suffisante) sur $x,y,z$ les équilibres de Nash trouvés en (1) sont-ils +encore des équilibres de Nash pour ce nouveau jeu ?\quad\textbf{(b)} À +quelle condition (nécessaire et suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un +équilibre de Nash où les deux joueurs jouent l'option Foobar (de façon +certaine) ?\quad\textbf{(c)} À quelle condition (nécessaire et +suffisante) sur $x,y,z$ y a-t-il un équilibre de Nash où les deux +joueurs jouent Pierre ou Foobar chacun avec +probabilité $\frac{1}{2}$ ? + +\smallskip + +\textbf{(3)} On reprend maintenant la matrice de gains écrite en (1), +mais cette fois les gains des deux joueurs seront \emph{égaux} au lieu +d'être opposés (ce n'est donc plus un jeu à somme nulle !), le tableau +donnant la valeur du gain commun aux deux joueurs. + +\textbf{\hphantom{(3)} (a)} Montrer que les équilibres de Nash trouvés +en (1) sont encore des équilibres de Nash de ce nouveau +jeu.\quad\textbf{(b)} Donner au moins un équilibre de Nash différent +de ceux-ci. + + + +% +% +% +\end{document} |