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diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex index 6be2488..a7f909a 100644 --- a/exercices-ordinaux.tex +++ b/exercices-ordinaux.tex @@ -240,14 +240,18 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ? = \alpha + \cdots + \alpha$). On a donc $(\omega+1)\cdot n = \omega\cdot n + 1$. -(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est la limite des $\omega\cdot - n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^2$ : en effet, - $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour chaque $n<\omega$, mais - inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a $\gamma < \omega\cdot n$ - pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^2 - = \omega\cdot\omega$ est elle-même la limite des $\omega\cdot n$, - c'est-à-dire le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en - particulier $\gamma < \omega\cdot n + 1$. +(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est donc la limite des + $(\omega+1)\cdot n = \omega\cdot n + 1$ pour $n\to\omega$. Cette + limite vaut $\omega^2$ : en effet, $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ + pour chaque $n<\omega$, mais inversement, si $\gamma < \omega^2$, on + a $\gamma < \omega\cdot n$ pour un certain $n$ (par exemple en + utilisant le fait que $\omega^2 = \omega\cdot\omega$ est elle-même + la limite des $\omega\cdot n$, c'est-à-dire le plus petit ordinal + supérieur ou égal à eux), et en particulier $\gamma < \omega\cdot n + + 1$ ; ou, si on préfère, $\omega\cdot n \leq \omega\cdot n + 1 \leq + \omega\cdot (n + 1)$ où $\omega\cdot n$ et $\omega\cdot (n+1)$ ont + la même limite $\omega^2$, d'où il résulte que $\omega\cdot n + 1$ + aussi. (e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1$. |