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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 01790ef..397cc5e 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -1296,6 +1296,29 @@ donc bien trouvé une fonction partielle $f := U(\varnothing)$ telle que $\Psi(f) \subseteq f$ (même $\Psi(f) = f$). \end{proof} +\begin{proof}[Seconde démonstration] +On utilise la notion d'ordinaux. On pose $f_0 = \varnothing$, et par +induction sur l'ordinal $\alpha$ on définit $f_{\alpha+1} = +\Psi(f_\alpha)$ et si $\delta$ est un ordinal limite alors $f_\delta = +\bigcup_{\gamma<\delta} f_\gamma$. On montre simultanément par +induction sur $\alpha$ que $f_\alpha$ est bien définie, est une +fonction partielle, et, grâce à la croissance de $\Psi$, prolonge +$f_\beta$ pour chaque $\beta<\alpha$ (c'est ce dernier point qui +permet de conclure que $\bigcup_{\gamma<\delta} f_\gamma$ est une +fonction partielle lorsque $\delta$ est un ordinal limite : la réunion +d'une famille totalement ordonnée pour l'inclusion de fonctions +partielles est encore une fonction partielle). Les inclusions +$f_\beta \subseteq f_\alpha$ pour $\beta<\alpha$ ne peuvent pas être +toutes strictes sans quoi on aurait une surjection d'un ensemble sur +la classe des ordinaux. Il existe donc $\tau$ tel que $f_{\tau+1} = +f_\tau$, c'est-à-dire $\Psi(f_\tau) = f_\tau$. D'autre part, si +$\Psi(h) = h$, alors par induction sur $\alpha$ on montre $f_\alpha +\subseteq h$ pour chaque $\alpha$ (l'étape successeur étant que si +$f_\alpha \subseteq h$ alors $f_{\alpha+1} = \Psi(f_\alpha) \subseteq +\Psi(h) = h$), donc en particulier $f_\tau \subseteq h$, et $f_\tau$ +est bien le plus petit $f$ tel que $\Psi(f) = f$. +\end{proof} + \subsection{Écrasement transitif} |