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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index ba84960..175b1a6 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -3296,7 +3296,41 @@ $\omega+1,\omega+2,\omega+3,\ldots$, après quoi vient $\omega\cdot 2$ \thingy On pourra ajouter les ordinaux, et les multiplier, et même élever un ordinal à la puissance d'un autre, mais il n'y aura pas de soustraction ($\omega-1$ n'a pas de sens, en tout cas pas en tant -qu'ordinal, parce que $\omega$ est le plus petit ordinal infini). +qu'ordinal, parce que $\omega$ est le plus petit ordinal infini). Les +ordinaux ont de nombreux points en commun avec les entiers naturels +(l'addition est associative, la multiplication aussi, on peut les +écrire en binaire, etc.), mais aussi des différences importantes +(l'addition n'est pas commutative : on a $1+\omega = \omega$ mais +$\omega+1 > \omega$). + +\thingy Ce qui importe pour la théorie des jeux est le fait suivant : +\emph{toute suite strictement décroissante d'ordinaux est finie} +(généralisation du fait que toute suite strictement d'entiers naturels +est finie). À cause de ça, les ordinaux peuvent servir à « mesurer » +toutes sortes de processus qui terminent à coup sûr en temps fini, ou +à généraliser les entiers naturels pour toutes sortes de processus qui +terminent à coup sûr en temps fini mais pas en un nombre d'étapes +borné \textit{a priori}. + +Par exemple, on peut imaginer que le dessin de la figure ci-dessus +(figurant les ordinaux $<\omega^2$) représente une rangée d'allumettes +qu'on pourrait utiliser dans un jeu de nim +(cf. \ref{introduction-nim-game}) : si on convient que les allumettes +doivent être effacées \emph{par la droite}, ce qui revient à diminuer +strictement l'ordinal qui les compte (intialement $\omega^2$), la +ligne sera toujours vidée en temps fini même si les joueurs essaient +de la faire durer le plus longtemps possible (le premier coup va faire +tomber l'ordinal $\omega^2$ à $\omega\cdot k + n$ avec +$k,n\in\mathbb{N}$, après quoi les coups suivants l'amèneront au plus +à $\omega\cdot k + n'$ avec $n'<n$ qui va finir par tomber à $0$, puis +on tombe à $\omega\cdot k' + m$ avec $k'<k$, et en continuant ainsi on +finit forcément par retirer toutes les allumettes). + +Plus formellement, quel que soit l'ordinal $\alpha$, l'ensemble +$\{\beta : \beta<\alpha\}$ des ordinaux plus petits, vu comme un +graphe pour la relation $>$ (i.e., on fait pointer une arête orientée +de chaque ordinal $\beta$ vers chaque ordinal strictement plus petit), +est bien-fondé. % |