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diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index 2f4dc73..c07b1a4 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -4012,9 +4012,13 @@ aussi définir $\#W$ comme l'écrasement transitif W\}$ où $\#x = \{\#y : y<x\}$, cette définition ayant bien un sens par induction transfinie (\ref{transfinite-definition} et \ref{scholion-transfinite-definition}). + +On appelle $\omega$ l'ordinal $\#\mathbb{N}$ de l'ensemble des entiers +naturels, et on identifie tout entier naturel $n$ à l'ordinal de +$\precs(n) = \{0,\ldots,n-1\}$ dans $\mathbb{N}$. \end{defn} -\thingy Ces deux façons de définir les ordinaux reviennent +\thingy Les deux façons de définir les ordinaux reviennent essentiellement au même : en effet, s'il y a une bijection croissante $W \to W'$ (forcément unique), alors les écrasements transitifs de $W$ et $W'$ coïncident, et réciproquement, si les écrasements transitifs @@ -4333,7 +4337,14 @@ suivantes : $\alpha$ peut s'écrire de façon unique comme $\alpha = \omega\gamma + r$ avec $r$ un entier naturel : on a alors $r>0$ si et seulement si $r$ est successeur (les ordinaux limites sont donc exactement les -$\omega\gamma$ avec $\gamma>0$). +$\omega\gamma$ avec $\gamma>0$) ; ce $r$ sera le « chiffre des +unités » de l'écriture de $\alpha$ en forme normale de Cantor +($\xi_{(0)}$ dans la notation de \ref{base-tau-writing-of-ordinals}). +On peut aussi écrire tout ordinal $\alpha$ de façon unique comme +$\alpha = 2\gamma + r$ avec $r$ valant $0$ ou $1$ : on peut dire que +$\alpha$ est « pair » ou « impair » selon le cas (à titre d'exemple, +$\omega$ est pair car $\omega = 2\cdot\omega$) ; ce $r$ sera de même +le « chiffre des unités » de l'écriture binaire. \thingy On pourrait aussi définir des produits d'ordinaux, ces produits étant eux-mêmes indicés par d'autres ordinaux (le cas des @@ -4404,6 +4415,25 @@ suivantes : transfinie). \end{itemize} +Il peut être éclairant de vérifier $2^\omega = \omega$ avec les deux +définitions de l'exponentiation. Selon la définition avec des +ensembles bien-ordonnés, $2^\omega = \#(\{0,1\}^{(\mathbb{N})})$ où +$\{0,1\}^{(\mathbb{N})}$ est l'ensemble des suites de $0$ et de $1$ +dont presque tous les termes sont des $0$, ordonnées par l'ordre +lexicographique donnant le plus de poids aux valeurs lointaines de la +suite : or de telles suites peuvent se voir comme des écritures +binaire (écrites à l'envers, i.e., en commençant par le poids faible), +et se comparent comme des écritures binaires, si bien que +$\{0,1\}^{(\mathbb{N})}$ est isomorphe, en tant qu'ensemble +bien-ordonné, à l'ensemble $\mathbb{N}$ des naturels, et son ordinal +est bien $\omega$. Selon la définition inductive, $2^\omega$ est la +limite de $2^n$ pour $n\to\omega$, c'est-à-dire la borne supérieure de +$\{2^0,2^1,2^2,2^3,\ldots\}$, or cette borne supérieure est $\omega$ +(ce ne peut pas être plus, parce que tous les $2^n$ sont des entiers +naturels donc majorés par $\omega$, et ce ne peut pas être moins car +aucun ordinal $<\omega$, i.e., aucun entier naturel, ne majore tous +les $2^n$). + \thingy\label{base-tau-writing-of-ordinals} Soient $\alpha,\tau$ des ordinaux avec $\tau>1$ (dans la pratique, on ne s'intéressera guère qu'à $\tau = 2$ et $\tau = \omega$) : alors il existe une unique |