From 04ec85128dece309d9168f7443fef9727e0efb8f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Mon, 22 Feb 2016 16:47:49 +0100 Subject: Isolate Brouwer's fixed point theorem. --- notes-mitro206.tex | 23 ++++++++++++++--------- 1 file changed, 14 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index f91a298..ce85b43 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -1057,10 +1057,13 @@ Nash. \end{thm} Pour démontrer le théorème en question, on utilise (et on admet) le -théorème du point fixe de Brouwer, qui affirme que si $K$ est un -convexe compact de $\mathbb{R}^m$, et que $T \colon K \to K$ est -continue, alors il existe $x\in K$ tel que $T(x) = x$ (un \emph{point - fixe} de $T$, donc). +théorème du point fixe de Brouwer, qui affirme que : + +\begin{thm}[L. E. J. Brouwer, 1910]\label{brouwer-fixed-point-theorem} +Si $K$ est un convexe compact de $\mathbb{R}^m$, et que $T \colon K +\to K$ est continue, alors il existe $x\in K$ tel que $T(x) = x$ (un +\emph{point fixe} de $T$, donc). +\end{thm} L'idée intuitive de la démonstration suivante est : partant d'un profil $s$ de stratégies, on peut définir continûment un nouveau @@ -1104,10 +1107,11 @@ l'identité ci-dessus pour rendre l'expression plus simple à écrire, mais elle peut donner l'impression qu'on commet une « erreur d'homogénéité » en ajoutant un gain à une probabilité.) -D'après la première expression donnée, il est clair qu'on a bien $s^\sharp_i -\in S_i$, et qu'on a donc bien défini une fonction $T\colon S\to S$. -Cette fonction est continue, donc admet un point fixe $s$. On va -montrer que $s$ est un équilibre de Nash. +D'après la première expression donnée, il est clair qu'on a bien +$s^\sharp_i \in S_i$, et qu'on a donc bien défini une fonction +$T\colon S\to S$. Cette fonction est continue, donc admet un point +fixe $s$ d'après \ref{brouwer-fixed-point-theorem}. On va montrer que +$s$ est un équilibre de Nash. Si $1\leq i\leq N$, il existe $a \in A_i$ tel que $u_i(s_{?i},a) \leq u_i(s)$ (car, comme dans la preuve @@ -1184,7 +1188,8 @@ convaincre que s'il existe $\tilde x$ tel que $u(\tilde x,y) > u(x,y)$ alors il y a un $i$ tel que ceci soit vrai en remplaçant $\tilde x$ par $x_i$, et on a alors $\varphi_i(x,y)>0$ donc $u(x^\sharp,y) > u(x,y)$) ; et on a un résultat analogue pour $y$. La fonction $T$ -continue du compact convexe $C\times C'$ vers lui-même y admet un +continue du compact convexe $C\times C'$ vers lui-même y admet +d'après \ref{brouwer-fixed-point-theorem} un point fixe $(x_0,y_0)$, vérifiant donc $(x_0^\sharp, y_0^\sharp) = (x_0,y_0)$, c'est-à-dire que $u (x_0,y_0) = \max_{x\in C} u(x,y_0) = \min_{y\in C'} u(x_0, y)$. On a donc maintenant -- cgit v1.2.3