From 054c3fa24ea18125e13196544b55737edb87a7af Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sat, 5 Dec 2015 10:36:42 +0100 Subject: Terminology: use "out-neighbor" rather than "successor". --- notes-mitro206.tex | 80 +++++++++++++++++++++++++++--------------------------- 1 file changed, 40 insertions(+), 40 deletions(-) diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index d5a07cf..ca284a0 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -32,7 +32,7 @@ \newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % -\newcommand{\succr}{\operatorname{succ}} +\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}} \newcommand{\mex}{\operatorname{mex}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} @@ -773,9 +773,9 @@ de $G$ s'appelle \textbf{sommets} et les éléments de $E$ \textbf{arêtes} de $G$, et si $(x,y) \in E$, on dit qu'il y a une arête allant du sommet $x$ au sommet $y$, ou arête de source $x$ et de cible $y$, ou encore que $y$ est \textbf{atteint} par une arête de -source $x$, ou encore que $y$ est un \textbf{successeur} de $x$, et on -notera $\succr(x) = \{y : (x,y) \in E\}$ l'ensemble des successeurs -de $x$. Un sommet qui n'a pas de successeur est dit \textbf{terminal} +source $x$, ou encore que $y$ est un \textbf{voisin sortant} de $x$, et on +notera $\outnb(x) = \{y : (x,y) \in E\}$ l'ensemble des voisins sortants +de $x$. Un sommet qui n'a pas de voisin sortant est dit \textbf{terminal} dans $G$. Un tel graphe est dit \textbf{fini} lorsque $G$ est fini (il est clair @@ -837,9 +837,9 @@ Pour un graphe orienté $G$, les affirmations suivantes sont \item[(\dag)]Tout ensemble \emph{non vide} $N$ de sommets de $G$ contient un sommet $x \in N$ qui est terminal pour $N$, c'est-à-dire qu'il n'existe aucune arête $(x,y)$ de $G$ avec $y \in - N$ (i.e., aucun successeur de $x$ n'appartient à $N$). + N$ (i.e., aucun voisin sortant de $x$ n'appartient à $N$). \item[(\ddag)]Si une partie $P\subseteq G$ vérifie la propriété - suivante « lorsque $x \in G$ est tel que tout successeur de $x$ + suivante « lorsque $x \in G$ est tel que tout voisin sortant de $x$ appartient à $P$, alors $x$ lui-même appartient à $P$ », alors $P = G$. \end{itemize} @@ -850,8 +850,8 @@ s'obtient en posant $P = G\setminus N$ ou réciproquement $N = G\setminus P$, en passant à la contraposée, et en passant aussi à la contraposée à l'intérieur de la propriété entre guillemets dans (\ddag), et encore une fois dans la prémisse de cette propriété -(« tout successeur de $x$ appartient à $P$ » équivaut à « aucun - successeur de $x$ n'appartient à $N$ », i.e., « $x$ est terminal +(« tout voisin sortant de $x$ appartient à $P$ » équivaut à « aucun + voisin sortant de $x$ n'appartient à $N$ », i.e., « $x$ est terminal pour $N$ »). Pour montrer que (\dag) implique (*), il suffit d'appliquer (\dag) à @@ -877,7 +877,7 @@ utiliser (\ddag)). \begin{prop} Si $G$ est un graphe orienté non supposé bien-fondé, la partie bien-fondée de $G$ est la plus petite (pour l'inclusion) partie $P$ -vérifiant la propriété « lorsque $x \in G$ est tel que tout successeur +vérifiant la propriété « lorsque $x \in G$ est tel que tout voisin sortant de $x$ appartient à $P$, alors $x$ lui-même appartient à $P$ » (i.e., la propriété entre guillemets dans (\ddag) de \ref{well-founded-induction}). @@ -891,27 +891,27 @@ petite. \begin{thm}[définition par induction bien-fondée]\label{well-founded-definition} Soit $G$ un graphe orienté bien-fondé et $Z$ un ensemble quelconque. -Notons $\succr(x) = \{y : (x,y) \in E\}$ l'ensemble des -successeurs d'un sommet $x$ de $G$ (i.e., des $y$ atteints par une +Notons $\outnb(x) = \{y : (x,y) \in E\}$ l'ensemble des +voisins sortants d'un sommet $x$ de $G$ (i.e., des $y$ atteints par une arête de source $x$). Appelons $\mathscr{F}$ l'ensemble des couples $(x,f)$ où $x\in G$ et -$f$ une fonction de l'ensemble des successeurs de $x$ vers $Z$ +$f$ une fonction de l'ensemble des voisins sortants de $x$ vers $Z$ (autrement dit, $\mathscr{F}$ est $\bigcup_{x \in G} \big(\{x\}\times -Z^{\succr(x)}\big)$). Soit enfin $\Phi\colon \mathscr{F} \to Z$ +Z^{\outnb(x)}\big)$). Soit enfin $\Phi\colon \mathscr{F} \to Z$ une fonction quelconque. Alors il existe une unique fonction $f\colon G \to Z$ telle que pour tout $x \in G$ on ait \[ -f(x) = \Phi(x,\, f|_{\succr(x)}) +f(x) = \Phi(x,\, f|_{\outnb(x)}) \] \end{thm} \begin{proof} Montrons d'abord l'unicité : si $f$ et $f'$ vérifient toutes les deux la propriété anoncée, soit $P$ l'ensemble des sommets $x$ de $G$ tels -que $f(x) = f'(x)$. Si $x \in G$ est tel que $\succr(x) -\subseteq P$, c'est-à-dire que $f|_{\succr(x)} = -f'|_{\succr(x)}$, alors $f(x) = \Phi(x,\, -f|_{\succr(x)}) = \Phi(x,\, f'|_{\succr(x)}) = f'(x)$, +que $f(x) = f'(x)$. Si $x \in G$ est tel que $\outnb(x) +\subseteq P$, c'est-à-dire que $f|_{\outnb(x)} = +f'|_{\outnb(x)}$, alors $f(x) = \Phi(x,\, +f|_{\outnb(x)}) = \Phi(x,\, f'|_{\outnb(x)}) = f'(x)$, autrement dit, $x\in P$. La phrase précédente affirme précisément que $P$ vérifie la propriété entre guillemets dans (\ddag) de \ref{well-founded-induction}, et d'après la proposition en @@ -927,9 +927,9 @@ informelle : \begin{scho} Pour définir une fonction $f$ sur un graphe bien-fondé, on peut supposer, lorsqu'on définit $f(x)$, que $f$ est déjà défini (i.e., -connu) sur tous les sommets successeurs de $x$ : autrement dit, on +connu) sur tous les voisins sortants de $x$ : autrement dit, on peut librement utiliser la valeur de $f(y)$ sur chaque sommet $y$ -successeur de $x$, dans la définition de $f(x)$. +voisin sortant de $x$, dans la définition de $f(x)$. \end{scho} Voici un exemple d'application de la définition par induction @@ -937,14 +937,14 @@ bien-fondée : \begin{defn} Soit $G$ un graphe orienté bien-fondé dans lequel chaque sommet n'a -qu'un nombre fini de successeurs. En utilisant le +qu'un nombre fini de voisins sortants. En utilisant le théorème \ref{well-founded-definition}, on définit alors une fonction $\rho\colon G \to \mathbb{N}$ par $\rho(x) = \max\{\rho(y) : -y\in\succr(x)\} + 1$ où on est convenu que $\max\varnothing = +y\in\outnb(x)\} + 1$ où on est convenu que $\max\varnothing = -1$ ; formellement, c'est-à-dire qu'on pose $\Phi(x, r) = \max\{r(y) : -y\in\succr(x)\} + 1$ (avec $\Phi(x, r) = 0$ si $x$ est terminal +y\in\outnb(x)\} + 1$ (avec $\Phi(x, r) = 0$ si $x$ est terminal dans $G$) et qu'on appelle $\rho$ la fonction telle que $\rho(x) = -\Phi(x, \rho|_{\succr(x)})$ dont l'existence et l'unicité sont +\Phi(x, \rho|_{\outnb(x)})$ dont l'existence et l'unicité sont garanties par le théorème. Cette fonction $\rho$ s'appelle la \textbf{fonction rang} sur $G$, on dit que $\rho(x)$ est le rang (ou rang bien-fondé) d'un sommet $x$. @@ -952,8 +952,8 @@ rang bien-fondé) d'un sommet $x$. \thingy Autrement dit, un sommet de rang $0$ est un sommet terminal, un sommet de rang $1$ est un sommet non-terminal dont tous les -successeurs sont terminaux, un sommet de rang $2$ est un sommet dont -tous les successeurs sont de rang $\leq 1$ mais et au moins un est de +voisins sortants sont terminaux, un sommet de rang $2$ est un sommet dont +tous les voisins sortants sont de rang $\leq 1$ mais et au moins un est de rang exactement $1$, et ainsi de suite. Il revient au même de définir le rang de la manière suivante : le rang @@ -970,15 +970,15 @@ Voici un autre exemple de définition par induction bien-fondée : \begin{defn} Soit $G$ un graphe orienté bien-fondé dans lequel chaque sommet n'a -qu'un nombre fini de successeurs. En utilisant le +qu'un nombre fini de voisins sortants. En utilisant le théorème \ref{well-founded-definition}, on définit alors une fonction $\gamma\colon G \to \mathbb{N}$ par $\gamma(x) = \mex\{\gamma(y) : -y\in\succr(x)\}$ où, si $S\subseteq\mathbb{N}$, on note $\mex S +y\in\outnb(x)\}$ où, si $S\subseteq\mathbb{N}$, on note $\mex S := \mathbb{N}\setminus S$ pour le plus petit entier naturel \emph{n'appartenant pas} à $S$ ; formellement, c'est-à-dire qu'on pose -$\Phi(x, g) = \mex\{g(y) : y\in\succr(x)\}$ et qu'on appelle +$\Phi(x, g) = \mex\{g(y) : y\in\outnb(x)\}$ et qu'on appelle $\gamma$ la fonction telle que $\gamma(x) = \Phi(x, -\gamma|_{\succr(x)})$ dont l'existence et l'unicité sont +\gamma|_{\outnb(x)})$ dont l'existence et l'unicité sont garanties par le théorème. Cette fonction $\gamma$ s'appelle la \textbf{fonction de Grundy} sur $G$, on dit que $\gamma(x)$ est la valeur de Grundy d'un sommet $x$. @@ -986,9 +986,9 @@ valeur de Grundy d'un sommet $x$. \thingy En particulier, un sommet de valeur de Grundy $0$ est un sommet qui n'a que des sommets de valeur de Grundy $>0$ comme -successeurs (ceci inclut le cas particulier d'un sommet terminal), +voisins sortants (ceci inclut le cas particulier d'un sommet terminal), tandis qu'un sommet de valeur de Grundy $>0$ est un sommet ayant au -moins un sommet de valeur de Grundy $0$ comme successeur. +moins un sommet de valeur de Grundy $0$ comme voisin sortant. On verra que la notion de fonction de Grundy, et particulièrement le fait que la valeur soit nulle ou pas, a énormément d'importance dans @@ -998,7 +998,7 @@ l'étude de la théorie des jeux impartiaux. Soit $G$ un graphe orienté bien-fondé. En utilisant le théorème \ref{well-founded-definition} (modulo la remarque qui suit), on définit alors une fonction $f$ sur $G$ par $f(x) = \{f(y) : -y\in\succr(x)\}$. L'image de $G$ par la fonction $f$ (c'est-à-dire +y\in\outnb(x)\}$. L'image de $G$ par la fonction $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des $f(x)$ pour $x\in G$) s'appelle l'\textbf{écrasement transitif} ou \textbf{écrasement de Mostowski} de $G$, tandis que $f$ s'appelle la fonction d'écrasement, et la valeur $f(x)$ (qui n'est @@ -1007,11 +1007,11 @@ orienté) s'appelle l'écasement transitif du sommet $x$. \end{defn} \thingy En particulier, un sommet terminal a pour -écrasement $\varnothing$, un sommet qui n'a pour successeurs que des +écrasement $\varnothing$, un sommet qui n'a pour voisins sortants que des sommets terminaux a pour écrasement $\{\varnothing\}$, un sommet qui -n'a pour successeurs que de tels sommets a pour écrasement +n'a pour voisins sortants que de tels sommets a pour écrasement $\{\{\varnothing\}\}$ tandis que s'il a aussi des sommets terminaux -pour successeurs ce sera $\{\varnothing,\penalty0 \{\varnothing\}\}$, +pour voisins sortants ce sera $\{\varnothing,\penalty0 \{\varnothing\}\}$, et ainsi de suite. Il y a une subtilité ensembliste dans la définition ci-dessus, c'est @@ -1020,12 +1020,12 @@ $f$ prend sa valeur : il faut en fait appliquer une généralisation de \ref{well-founded-definition} où $Z$ est remplacé par l'univers de tous les ensembles : nous ne rentrerons pas dans ces subtilités, et admettrons qu'il existe bien une unique fonction $f$ sur $G$ qui -vérifie $f(x) = \{f(y) : y\in\succr(x)\}$ pour chaque $x\in G$. +vérifie $f(x) = \{f(y) : y\in\outnb(x)\}$ pour chaque $x\in G$. \begin{defn} Un graphe orienté $G$ est dit \textbf{extensionnel} lorsque deux -sommets $x$ et $x'$ ayant le même ensemble de successeurs ($\succr(x) -= \succr(x')$) sont égaux. +sommets $x$ et $x'$ ayant le même ensemble de voisins sortants ($\outnb(x) += \outnb(x')$) sont égaux. \end{defn} \begin{prop} @@ -1037,7 +1037,7 @@ en \ref{definition-transitive-collapse} est injective. Supposons $G$ transitif et montrons par induction bien-fondée que $f$ est injective sur l'aval de tout sommet $x$. Soit $P$ l'ensemble des $y$ tels que $f$ restreinte à l'aval de $y$ soit injective. Soit $x$ -un sommet dont tous les successeurs appartiennent à $P$ : +un sommet dont tous les voisins sortants appartiennent à $P$ : \textcolor{red}{à finir.} \end{proof} -- cgit v1.2.3