From 27c1bf7741a8f28dd7038d1a5b4cf5018d5f32d0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 14 Mar 2016 16:46:04 +0100
Subject: Sum of ordinals.

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 notes-mitro206.tex | 57 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 57 insertions(+)

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index 618f949..1e78308 100644
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+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -4019,6 +4019,63 @@ qui permettra de dire que $2^\omega = \omega$ quand on aura défini cet
 objet).
 
 
+\subsection{Somme, produit et exponentielle d'ordinaux}
+
+\thingy Il existe deux façons équivalentes de définir la somme
+$\alpha+\beta$ de deux ordinaux.
+
+La première façon consiste à prendre un ensemble bien-ordonné $W$ tel
+que $\alpha = \#W$ et un ensemble bien-ordonné $W'$ tel que $\beta =
+\#W'$, et définir $\alpha + \beta := \#W''$ où $W''$ est l'ensemble
+bien-ordonné qui est réunion disjointe de $W$ et $W'$ avec l'ordre qui
+place $W'$ \emph{après} $W$, c'est-à-dire formellement $W'' := \{(0,w)
+: w\in W\} \cup \{(1,w') : w'\in W'\}$ ordonné en posant $(i,w_1) <
+(i,w_2)$ ssi $w_1 < w_2$ et $(0,w) < (1,w')$ quels que soient $w\in W$
+et $w' \in W'$ (il est facile de voir qu'il s'agit bien d'un bon
+ordre).
+
+Autrement dit, intuitivement, une rangée de $\alpha+\beta$ allumettes
+s'obtient en ajoutant $\beta$ allumettes \emph{après} (i.e., \emph{à
+  droite d'})une rangée de $\alpha$ allumettes.
+
+La seconde façon consiste à définir $\alpha+\beta$ par induction
+transfinie sur $\beta$ (le \emph{second} terme) :
+\begin{itemize}
+\item $\alpha + 0 = \alpha$,
+\item $\alpha + (\beta+1) = (\alpha+\beta) + 1$ (cas successeur),
+\item $\alpha + \delta = \lim_{\xi\to\delta} (\alpha+\xi)$ si $\delta$
+  est limite.
+\end{itemize}
+
+Nous ne ferons pas la vérification du fait que ces définitions sont
+bien équivalentes, qui n'est cependant pas difficile (il s'agit de
+vérifier que la première définition vérifie bien les clauses
+inductives de la seconde).
+
+\thingy Quelques propriétés de l'addition des ordinaux sont les
+suivantes :
+\begin{itemize}
+\item l'addition est associative, c'est-à-dire que
+  $(\alpha+\beta)+\gamma = \alpha+(\beta+\gamma)$ ;
+\item l'ordinal nul est neutre à gauche comme à droite, c'est-à-dire
+  que $0+\alpha = \alpha = \alpha+0$ ;
+\item le successeur de $\alpha$ est $\alpha + 1$ ;
+\item l'addition n'est pas commutative en général : par exemple,
+  $1+\omega = \omega$ (en décalant d'un cran toutes les allumettes)
+  alors que $\omega + 1 > \omega$ ;
+\item l'addition est croissante en chaque variable, et même
+  strictement croissante en la seconde (si $\alpha\leq\alpha'$ alors
+  $\alpha+\beta \leq \alpha'+\beta$, et si $\beta<\beta'$ alors
+  $\alpha+\beta < \alpha+\beta'$ ; le fait que $0<1$ mais $0+\omega =
+  1+\omega$ explique qu'il n'y a pas croissante stricte en la première
+  variable) ;
+\item lorsque $\alpha \leq \alpha'$, il existe un unique $\beta$ tel
+  que $\alpha' = \alpha + \beta$ (certains auteurs le notent $-\alpha
+  + \alpha'$ : on prendra garde au fait qu'il s'agit d'une
+  soustraction \emph{à gauche}).
+\end{itemize}
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+
 
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cgit v1.2.3