From 54f79adc053a24a48865a49646c98f9eb2c043c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Thu, 18 Jun 2026 15:46:13 +0200 Subject: Mostly minor changes (typos, clarifications) suggested by an LLM. --- controle-20260622.tex | 26 +++++++++++++------------- 1 file changed, 13 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/controle-20260622.tex b/controle-20260622.tex index 65bf303..a84dd87 100644 --- a/controle-20260622.tex +++ b/controle-20260622.tex @@ -139,7 +139,7 @@ Nous allons étudier ce problème sous l'angle de la pure théorie des jeux\footnote{En supposant, entre autres hypothèses simplificatrices critiquables, que chacun n'est préoccupé que par sa propre survie.}. On considère donc le jeu en forme normale suivant : $n\geq 2$ joueurs -doivent fait un choix simultané entre deux options, $B$ (bleu) et +doivent faire un choix simultané entre deux options, $B$ (bleu) et $R$ (rouge) ; par ailleurs, on a fixé à l'avance\footnote{On suppose tacitement que ce seuil, comme l'ensemble des règles du jeu, sont connus de tous les joueurs. Dans l'expérience de pensée du texte cité @@ -354,10 +354,10 @@ suivantes : était supposée bornée) il existe au moins une valeur qui soit infiniment récurrente pour la suite $(\pi(x_0), \pi(x_1), \ldots)$ des priorités des sommets parcourus : le gagnant est alors donné par - la parité du maximum de ces valeurs (autrement dit, on pose $u_i = - \pi(x_i)$, on appelle $p := \max\{v : v\text{~infiniment récurrente - dans~}(u_i)\}$ et Impair gagne si $p$ est impair tandis que Pair - gagne si $p$ est pair). + la parité de la plus grande de ces valeurs (autrement dit, on pose + $u_i = \pi(x_i)$, on appelle $p := \max\{v : v\text{~infiniment + récurrente dans~}(u_i)\}$ et Impair gagne si $p$ est impair tandis + que Pair gagne si $p$ est pair). \end{itemize} Pour le dire de façon plus courte, le jeu se joue comme un jeu combinatoire normal, mais si la confrontation est infinie, au lieu de @@ -456,14 +456,14 @@ l'est, c'est-à-dire que $\dblunderline{x} \in P_v \setminus \textbf{(4)} Pour avoir toujours affaire à des confrontations infinies, lorsqu'un joueur ne peut plus jouer selon les règles, on -conviendra qu'il joue n'importe quoi et a automatiquement perdu (i.e., -la suite des coups après est arbitraire et sans importance). En -reprenant un raisonnement du cours, rappeler pourquoi $G^{\mathbb{N}}$ -est la réunion disjointe $A \cup B \cup D$ où $A$, resp. $B$ sont des -ouverts décrivant des confrontations gagnées par Impair, resp. Pair -parce que l'autre joueur a violé en premier la règle de choisir un -voisin sortant, et $D$ est un fermé décrivant les confrontations où -chaque $x_{i+1}$ est un voisin sortant de $x_i$. +conviendra qu'il perd immédiatement et que la suite des coups après ce +point est arbitraire (sans importance pour le résultat). En reprenant +un raisonnement du cours, rappeler pourquoi $G^{\mathbb{N}}$ est la +réunion disjointe $A \cup B \cup D$ où $A$, resp. $B$ sont des ouverts +décrivant des confrontations gagnées par Impair, resp. Pair parce que +l'autre joueur a violé en premier la règle de choisir un voisin +sortant, et $D$ est un fermé décrivant les confrontations où chaque +$x_{i+1}$ est un voisin sortant de $x_i$. \begin{corrige} Appelons $D$ l'ensemble des suites $\dblunderline{x} \in -- cgit v1.2.3