From 797618753f8d4a8560402a8b3555252e015e2a8d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 17 Apr 2017 21:54:08 +0200
Subject: An exercise on games in normal form.

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 controle-20170419.tex | 70 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 70 insertions(+)

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@@ -293,6 +293,76 @@ en déduire que si $G\doteq H$ alors $*{:}G \doteq *{:}H$ (où $\doteq$
 désigne l'égalité au sens de Conway des jeux partisans).
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On considère le jeu en forme normale suivant : \emph{trois} joueurs
+(Alice, Bob et Charlie, par exemple) choisissent indépendamment les
+uns des autres un élément de l'ensemble $\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}$ :
+\begin{itemize}
+\item s'ils ont tous les trois choisi la même option, ils gagnent
+  tous $0$,
+\item si l'un d'entre eux a choisi une option différente des deux
+  autres, celui qui a choisi cette option gagne $2$ et chacun des deux
+  autres gagne $-1$.
+\end{itemize}
+
+Il sera utile de remarquer que les joueurs ont des rôles complètement
+symétriques, et que les options sont également symétriques.
+
+(Attention, même si la somme des gans des trois joueurs vaut
+toujours $0$, ce n'est pas un « jeu à somme nulle » au sens classique,
+car ces derniers ne sont définis que pour \emph{deux} joueurs.)
+
+\smallbreak
+
+(1) Donner le tableau des gains du jeu considéré.  (On choisira une
+façon raisonnable de présenter un tableau à trois entrées, par exemple
+comme plusieurs tableaux à deux entrées mis côte à côte.)
+
+\smallbreak
+
+Si $p \in [0;1]$, on notera simplement $p$ la stratégie mixte d'un
+joueur qui consiste à choisir $\mathtt{1}$ avec probabilité $p$ et
+$\mathtt{0}$ avec probabilité $1-p$.
+
+(2) Vérifier que l'espérance de gain d'Alice si elle joue selon la
+stratégie mixte $p$ tandis que Bob joue selon la stratégie mixte $q$
+et Charlie selon la stratégie mixte $r$ vaut : $-2pq -2pr +4qr + 2p -
+q -r$.  (Ici, $p,q,r$ sont trois réels entre $0$ et $1$.)
+
+\smallbreak
+
+(3) On se demande à quelle condition sur la stratégie mixte $q$ jouée
+par Bob et la stratégie mixte $r$ jouée par Charlie les options
+$\mathtt{0}$ et $\mathtt{1}$ d'Alice sont indifférentes pour elle
+(c'est-à-dire, lui apportent la même espérance de gain).  Montrer que
+c'est le cas ssi $q + r = 1$.
+
+\smallbreak
+
+(4) Déduire de la question (3) que si un profil $(p,q,r)$ de
+stratégies mixtes est un équilibre de Nash et que $0<p<1$ alors
+$q+r=1$.
+
+\smallbreak
+
+(5) En déduire tous les équilibres de Nash $(p,q,r)$ du jeu (on pourra
+distinguer des cas selon que $p=0$, $p=1$ ou $0<p<1$ et de même pour
+$q$ et $r$ ; la symétrie doit permettre de simplifier le travail).
+
+\smallbreak
+
+(6) Dans cette question, on modifie le jeu : plutôt que faire leurs
+choix indépendamment, les joueurs le font successivement (Alice, puis
+Bob, puis Charlie).  (a) Que vont faire Bob puis Charlie si Alice
+choisit $\mathtt{0}$ ?  (b) Informellement, expliquer qui est avantagé
+ou désavantagé par cette modification de la règle.
+
+
 
 
 %
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cgit v1.2.3