From 7a223e6f1cca6866829108b41a464592360de475 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Tue, 16 Apr 2024 21:33:02 +0200 Subject: Minor fixes and clarifications. --- controle-20240422.tex | 49 ++++++++++++++++++++++++++----------------------- 1 file changed, 26 insertions(+), 23 deletions(-) diff --git a/controle-20240422.tex b/controle-20240422.tex index e80dece..37cf995 100644 --- a/controle-20240422.tex +++ b/controle-20240422.tex @@ -104,7 +104,7 @@ Durée : 2h \ifcorrige Ce corrigé comporte \textcolor{red}{xxx} pages (page de garde incluse). \else -Cet énoncé comporte \textcolor{red}{xxx} pages (page de garde incluse). +Cet énoncé comporte 3 pages (page de garde incluse). \fi \vfill @@ -135,8 +135,8 @@ $Y$&$0$&$2$\\ Un seul nombre a été inscrit dans chaque case car les gains des deux joueurs sont \emph{égaux}, et c'est ce nombre-là qui est écrit (attention, il ne s'agit pas d'un jeu à somme nulle, au contraire : au -lieu d'être antagonistes, les intérêts des deux joueurs sont -parfaitement alignés). +lieu d'être opposés, les intérêts des deux joueurs sont parfaitement +identiques). Étudier et déterminer tous les équilibres de Nash de ce jeu : on commencera par considérer ceux en stratégies pures, puis par @@ -148,8 +148,8 @@ suivante : les deux joueurs ont le même ensemble d'options, notons-le $\{X_1,\ldots,X_N\}$, et ils ont le même gain $u_A(a,b) = u_B(a,b)$ pour $a,b\in \{X_1,\ldots,X_N\}$, et de plus ce gain vaut $0$ lorsque $b\neq a$ et il vaut $g_i$ lorsque $a = b = X_i$, où tous les $g_i$ -sont des strictement positifs et distincts, disons $0 < g_1 < g_2 < -\cdots < g_N$ pour fixer les idées. Pour résumer : +sont des réels strictement positifs et distincts, disons $0 < g_1 < +g_2 < \cdots < g_N$ pour fixer les idées. Pour résumer : \begin{center} \begin{tabular}{r|ccc} $\downarrow$Alice, Bob$\rightarrow$&$X_1$&$\cdots$&$X_N$\\\hline @@ -173,11 +173,11 @@ que $I=J$. jeu, en notant $p_1 X_1 + \cdots + p_N X_N$ la stratégie (mixte) d'Alice, montrer que les $g_i p_i$ tels que $p_i > 0$ (c'est-à-dire $X_i \in I$) sont tous égaux entre eux. En déduire par symétrie le -résultat analogue pour la stratégie de Bob. En déduire qu'il existe -au plus $2^N - 1$ équilibres de Nash, un pour chaque partie non vide -$I$ de $\{X_1,\ldots,X_N\}$. +résultat analogue pour la stratégie de Bob, donc qu'elles sont égales. +En déduire qu'il existe au plus $2^N - 1$ équilibres de Nash, un pour +chaque partie non vide $I$ de $\{X_1,\ldots,X_N\}$. -\textbf{(c)} Vérifier que les stratégies mixtes décrites en (b) sont +\textbf{(c)} Vérifier que les stratégies mixtes trouvées en (b) sont bien des équilibres de Nash du jeu, et conclure qu'il a exactement $2^N - 1$ équilibres de Nash, qu'on décrira explicitement. @@ -197,7 +197,8 @@ le jeu. Ils sont supposés connus des deux joueurs.) Chaque joueur quand vient son tour choisit un élément $x_i \in X$ : plus exactement, Alice choisit $x_0$, puis Bob choisit $x_1$, puis Alice choisit $x_2$, et ainsi de suite. Il n'y a aucune contrainte -sur le choix du $x_i$. +sur le choix du $x_i$ et chacun a connaissance de tous les coups +antérieurs. Au bout d'un nombre infini de tours, on considère le réel \[ @@ -225,25 +226,27 @@ joueurs a une stratégie gagnante. Montrer que si $\psi(\dblunderline{x}) = u$ et $\varepsilon > 0$, alors il existe $\ell \in \mathbb{N}$ tel que toute suite $\dblunderline{y}$ commençant par $x_0,\ldots,x_{\ell-1}$ vérifie -$|\psi((y_i))-u| < \varepsilon$. (Autrement dit, il existe $\ell$ tel -que l'image du $\ell$-ième voisinage fondamental +$|\psi(\dblunderline{y})-u| < \varepsilon$. Autrement dit, il existe +$\ell$ tel que l'image du $\ell$-ième voisinage fondamental $V_\ell(\dblunderline{x})$ de $\dblunderline{x}$ par $\psi$ soit -incluse dans la boule ouverte $B_\varepsilon(u) = +incluse dans la boule ouverte $B_\varepsilon(u) := \mathopen]u-\varepsilon,u+\varepsilon\mathclose[$. -\emph{Indication :} s'inspirer de la note en bas de -page \ref{footnote-series-converges}.) +(\emph{Indication :} s'inspirer de la note en bas de + page \ref{footnote-series-converges}.) \textbf{(2)} En déduire que si $U \subseteq \mathbb{R}$ est ouvert (au -sens de la topologie usuelle des réels), alors l'image réciproque -$\psi^{-1}(U) \subseteq X^{\mathbb{N}}$ est ouverte (au sens de la -topologie produit de la topologie discrète sur $X^{\mathbb{N}}$, qu'on -a considérée en cours). +sens de la topologie usuelle des réels\footnote{Rappel : $U \subseteq +\mathbb{R}$ est ouvert lorsque pour tout $u\in U$ il existe +$\varepsilon>0$ tel que $B_\varepsilon(u) \subseteq U$.}), alors +l'image réciproque $\psi^{-1}(U) \subseteq X^{\mathbb{N}}$ est ouverte +(au sens de la topologie produit de la topologie discrète sur +$X^{\mathbb{N}}$, qu'on a considérée en cours). \textbf{(3)} En déduire que si $A$ est ouvert, ou bien fermé, l'un des deux joueurs possède une stratégie gagnante au jeu qu'on a décrit. -\textbf{(4)} Montrer ce résultat lorsque $A = \mathbb{Q}$ (autrement -dit, Alice gagne si la somme $u$ de la série est +\textbf{(4)} Montrer aussi ce résultat lorsque $A = \mathbb{Q}$ +(autrement dit, Alice gagne si la somme $u$ de la série est rationnelle\footnote{Merci d'avance de ne pas prétendre que $\mathbb{Q}$ est ouvert, ni qu'il est fermé.}). Plus généralement, montrer ce résultat lorsque $A$ est borélien. @@ -261,8 +264,8 @@ somme et le produit d'ordinaux écrits en forme normale de Cantor \textbf{(1)} On rappelle que $1 + \omega = \omega$. En déduire que si un ordinal $\alpha$ vérifie $\alpha \geq \omega$, alors on a $1 + -\alpha = \alpha$ (\emph{indication :} pourquoi peut-on écrire $\alpha -= \omega + \beta$ ?). En déduire que $1 + \omega^\gamma = +\alpha = \alpha$ (\emph{indication :} justifier qu'on peut écrire +$\alpha = \omega + \beta$). En déduire que $1 + \omega^\gamma = \omega^\gamma$ lorsque $\gamma > 0$, puis que $\omega^{\gamma_1} + \omega^{\gamma_2} = \omega^{\gamma_2}$ lorsque $\gamma_1 < \gamma_2$, et enfin que $\omega^{\gamma_1} n_1 + \omega^{\gamma_2} n_2 = -- cgit v1.2.3