From 83bc018fea5a4b3fd6d7079037cc51e174d71229 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Mon, 14 Mar 2016 16:25:17 +0100 Subject: Successor and limit ordinals. --- notes-mitro206.tex | 86 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 78 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/notes-mitro206.tex b/notes-mitro206.tex index f187c7f..618f949 100644 --- a/notes-mitro206.tex +++ b/notes-mitro206.tex @@ -3899,7 +3899,14 @@ difficiles à visualiser. Mais même si on n'identifie pas $\alpha = \#W$ à l'ensemble des ordinaux strictement plus petits, il est important de garder à l'esprit que l'ensemble des ordinaux strictment plus petits est $\{\#\precs(x) : x \in W\}$ (par définition de -l'ordre !), et que $\alpha = \#\{\beta < \alpha\}$ (idem). +l'ordre !), et que $\alpha = \#\{\beta < \alpha\}$ (idem). Même si +nous éviterons de supposer explicitement que les ordinaux sont +construits à la façon de von Neumann, il arrivera souvent qu'on dise +« un élément de $\alpha$ » pour parler d'un ordinal strictement plus +petit que $\alpha$ (cela peut être considéré comme un abus de +langage). + +\bigbreak Le théorème \ref{comparison-of-well-ordered-sets} a la conséquence importante suivante sur les ordinaux : @@ -3928,28 +3935,91 @@ La dernière affirmation vient de l'équivalence entre (*) et (\dag) dans \ref{definition-well-ordered-set}. \end{proof} -\begin{prop} +\begin{prop}\label{sup-and-strict-sup-of-sets-of-ordinals} Tout ensemble $S$ d'ordinaux a une borne supérieure : autrement dit, il existe un ordinal $\sup S$ qui est le plus petit majorant (large) -de $S$. +de $S$ (i.e., le plus petit ordinal $\alpha$ tel que $\beta\leq\alpha$ +pour tout $\beta \in S$), et un ordinal $\sup^+ S$ qui est le plus +petit majorant strict de $S$ (i.e., le plus petit ordinal $\alpha$ tel +que $\beta<\alpha$ pour tout $\beta \in S$). + +(On verra plus loin que $\sup^+ S = \sup\{\beta+1 \colon \beta \in +S\}$, donc cette notion n'est pas vraiment nouvelle.) \end{prop} \begin{proof} D'après ce qu'on vient de voir (dernière affirmation de \ref{sets-of-ordinals-are-well-ordered}), il suffit de montrer -qu'il existe un majorant de $S$. Quitte à remplacer $S$ par sa +qu'il existe un majorant strict de $S$. Quitte à remplacer $S$ par sa réunion avec l'ensemble des ordinaux inférieurs à un ordinal quelconque de $S$ (pour les ordinaux de von Neumann, ceci revient à remplacer $S$ par $S \cup \bigcup_{\alpha\in S} \alpha$), on peut supposer que (*) si $\alpha \in S$ et $\beta < \alpha$ alors $\beta \in S$. On vient de voir que $S$ est bien-ordonné : si $\alpha = -\#S$, montrons qu'il s'agit d'un majorant de $S$ ; or si $\beta \in -S$, on a $\beta = \#\precs_S(\beta)$ d'après l'hypothèse (*) qu'on -vient d'assurer, et la définiton de l'ordre sur les ordinaux donne -$\beta<\alpha$. +\#S$, montrons qu'il s'agit d'un majorant strict de $S$ ; or si $\beta +\in S$, on a $\beta = \#\precs_S(\beta)$ d'après l'hypothèse (*) qu'on +vient d'assurer, et la définition de l'ordre sur les ordinaux donne +$\beta<\alpha$ : ainsi, $\alpha$ est bien un majorant strict comme +voulu. \end{proof} +\subsection{Ordinaux successeurs et limites} + +\thingy On appelle \textbf{successeur} d'un ordinal $\alpha$ le plus +petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ (qui existe d'après la +proposition \ref{sup-and-strict-sup-of-sets-of-ordinals} : si on veut, +c'est $\sup^+\{\alpha\}$) : il est facile de voir que cet ordinal est +fabriqué en ajoutant un unique élément à la fin d'un ensemble +bien-ordonné d'ordinal $\alpha$ ; on le note $\alpha+1$. +Réciproquement, tout ordinal ayant un plus grand élément (i.e., +l'ordinal d'un ensemble bien-ordonné ayant un plus grand élément) est +un successeur : en effet, si $W$ a un plus grand élément $x$, alors +$\#W$ est le successeur de $\#\precs(x)$. + +\thingy On distingue maintenant trois sortes d'ordinaux : +\begin{itemize} +\item l'ordinal \textbf{nul} $0 = \#\varnothing$, mis à part de tous + les autres, +\item les ordinaux \textbf{successeurs}, c'est-à-dire ceux qui ont un plus + grand élément (au sens expliqué ci-dessus), +\item les autres, qu'on appelle ordinaux \textbf{limites}. +\end{itemize} + +La terminologie d'ordinaux « limites » s'explique ainsi : si $\delta$ +est un ordinal non nul qui n'est pas successeur, cela signifie que +pour chaque $\beta<\delta$ il existe $\beta'$ avec +$\beta<\beta'<\delta$ (puisque $\beta$ n'est pas le plus grand élément +de $\delta$). Ceci permet de dire que $\sup\{\beta < \alpha\} = +\sup^+\{\beta < \alpha\}$ (de façon générale, on a $\sup^+\{\beta < +\alpha\} = \alpha$ par définition), et on va définir la notion de +limite ainsi : + +\thingy Si $\delta$ est un ordinal limite et $f$ est une fonction +\emph{croissante} de $\delta$ (i.e., des ordinaux strictement plus +petits que $\delta$) vers les ordinaux, on appelle \textbf{limite} de +$f$ en $\delta$ la valeur $\sup\{f(\xi) : \xi<\delta\}$. On pourra la +noter $\lim_{\xi\to\delta} f(\xi)$ ou simplement $\lim_\delta f$. (Il +s'agit bien d'une limite pour une certaine topologie : la topologie de +l'ordre ; plus exactement, c'est une limite car pour tous $\beta_1 < +\lim_\delta f < \beta_2$, il existe $\xi_0$ tel que $\beta_1 < f(\xi) +< \beta_2$ si $\xi_0 \leq \xi < \delta$.) + +Ainsi, si $\delta$ est un ordinal limite, on peut écrire $\delta = +\lim_{\xi\to\delta} \xi$ (et réciproquement, si $f$ est +\emph{strictement} croissante, alors $\lim_{\xi\to\delta} f(\xi)$ est +forcément un ordinal limite). + +À titre d'exemple, si $(u_n)$ est une suite croissante d'entiers +naturels, sa limite en tant que fonction ordinale $\omega \to \omega$ +est soit un entier naturel (lorsque la suite est bornée, donc +constante à partir d'un certain rang) soit $\omega$ (lorsque la suite +n'est pas bornée). Notamment, $\lim_{n\to\omega} 2^n = \omega$ (ce +qui permettra de dire que $2^\omega = \omega$ quand on aura défini cet +objet). + + + % % % -- cgit v1.2.3