From 96e6a4283ad0043a0798f37af5d9dc220ce318fd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Wed, 9 Jun 2021 20:27:42 +0200 Subject: Answer to question (3) of test was incomplete. --- controle-20210412.tex | 24 ++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 24 insertions(+) diff --git a/controle-20210412.tex b/controle-20210412.tex index e15403a..8440d92 100644 --- a/controle-20210412.tex +++ b/controle-20210412.tex @@ -346,6 +346,30 @@ bout : montrons que $m\leq n$ implique $\gamma_m \leq \gamma_n$ par récurrence sur $n\geq m$ : pour $n=m$ c'est évident, et si on a $\gamma_m \leq \gamma_n$, alors $\gamma_m \leq \gamma_n \leq \varphi(\gamma_n) = \gamma_{n+1}$ ce qui conclut la récurrence.) + +Montrons maintenant $\varphi(\gamma_\omega) = \gamma_\omega$. Par +continuité de $\varphi$, on a $\varphi(\lim_{n\to\omega} \gamma_n) = +\lim_{n\to\omega} \varphi(\gamma_n)$ (pour être tout à fait complet +dans la démonstration de cette affirmation : $\gamma_\omega$ est par +définition le plus petit ordinal supérieur ou égal à tous les +$\gamma_n$ pour $n<\omega$, donc tout ordinal $\zeta<\gamma_\omega$ +est majoré par un $\gamma_n$ pour un certain $n<\omega$, et par +croissance de $\varphi$ on a alors $\varphi(\zeta)$ majoré par +$\varphi(\gamma_n)$, donc la borne supérieure des $\varphi(\gamma_n)$ +pour $n<\omega$ est aussi la borne supérieure des $\varphi(\zeta)$ +pour $\zeta<\gamma_\omega$ : or cette dernière borne supérieure est +$\varphi(\gamma_omega)$ par continuité de $\varphi$, ce qui montre +$\varphi(\gamma_\omega) = \lim_{n\to\omega} \varphi(\gamma_n)$), +c'est-à-dire $\varphi(\gamma_\omega) = \lim_{n\to\omega} \gamma_{1+n} += \gamma_\omega$, comme affirmé. + +Enfin, si $\delta$ est un point fixe de $\varphi$ et $\delta \geq +\alpha$, alors par récurrence sur $n$ on a $\delta \geq \gamma_n$ pour +tout $n<\omega$ (le cas $n=0$ est l'hypothèse, et $\delta \geq +\gamma_n$ implique $\varphi(\delta) \geq \varphi(\gamma_n)$ par +croissance de $\varphi$, c'est-à-dire $\delta \geq \gamma_{n+1}$), ce +qui donne $\delta \geq \gamma_\omega$ puisque $\gamma_\omega$ est la +borne supérieure des $\gamma_n$ pour $n<\omega$. \end{corrige} La question (3) implique notamment : \emph{pour tout ordinal $\alpha$ -- cgit v1.2.3