From 9c48c6057e3ea4f294ef672620f3aafef73543a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 4 Apr 2016 23:59:35 +0200
Subject: More simple exercises on ordinals.

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 exercices-ordinaux.tex | 78 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 78 insertions(+)

diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex
index 3f5849e..6be2488 100644
--- a/exercices-ordinaux.tex
+++ b/exercices-ordinaux.tex
@@ -203,6 +203,84 @@ Dans l'ordre croissant : \spaceout $0$ ;
 \end{corrige}
 
 
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+(a) Que vaut $(\omega+1) + (\omega+1)$ ?
+
+(b) Plus généralement, que vaut $(\omega+1) + \cdots + (\omega+1)$
+avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
+
+(c) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot n$.
+
+(d) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot \omega$.
+
+(e) En déduire ce que vaut $(\omega+1)\cdot(\omega+1)$.
+
+(f) En déduire ce que vaut $(\omega+1)^2$.
+
+\begin{corrige}
+(a) On a $(\omega+1) + (\omega+1) = \omega + 1 + \omega + 1 = \omega +
+  (1 + \omega) + 1 = \omega + \omega + 1 = \omega\cdot 2 + 1$.
+
+(b) En procédant de même, on voit que dans la somme de $n$ termes
+  $\omega + 1$, chaque $1$ est absorbé par le $\omega$ qui
+  \emph{suit}, sauf le dernier $1$ qui demeure : la somme vaut
+  donc $\omega\cdot n + 1$.
+
+(c) Quel que soit l'ordinal $\alpha$, la somme $\alpha + \cdots +
+  \alpha$ avec $n$ termes $\alpha$ vaut $\alpha\cdot n$ (ceci se voit
+  soit par une récurrence immédiate sur $n$ avec la définition par
+  induction de la multiplication, soit en utilisant la distributivité
+  à droite, c'est-à-dire $\alpha\cdot n = \alpha\cdot(1 + \cdots + 1)
+  = \alpha + \cdots + \alpha$).  On a donc $(\omega+1)\cdot n =
+  \omega\cdot n + 1$.
+
+(d) L'ordinal $(\omega+1)\cdot \omega$ est la limite des $\omega\cdot
+  n + 1$ pour $n\to\omega$.  Cette limite vaut $\omega^2$ : en effet,
+  $\omega^2 \geq \omega\cdot n + 1$ pour chaque $n<\omega$, mais
+  inversement, si $\gamma < \omega^2$, on a $\gamma < \omega\cdot n$
+  pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que $\omega^2
+  = \omega\cdot\omega$ est elle-même la limite des $\omega\cdot n$,
+  c'est-à-dire le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en
+  particulier $\gamma < \omega\cdot n + 1$.
+
+(e) On a $(\omega+1)\cdot (\omega+1) = (\omega+1)\cdot \omega + \omega
+  + 1 = \omega^2 + \omega + 1$.
+
+(f) On a toujours $\alpha^2 = \alpha\cdot\alpha$, donc $(\omega+1)^2 =
+  \omega^2 + \omega + 1$ comme on vient de le montrer.
+\end{corrige}
+
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On dit qu'un ordinal $\alpha$ est \textbf{infini} lorsque
+$\alpha\geq\omega$.  Montrer qu'un ordinal est infini si et seulement
+si $1+\alpha = \alpha$.
+
+\begin{corrige}
+Si $\alpha$ est infini, on a $\alpha \geq \omega$, donc il existe un
+unique ordinal $\beta$ tel que $\alpha = \omega + \beta$.  On a alors
+$1 + \alpha = 1 + (\omega + \beta) = (1 + \omega) + \beta = \omega +
+\beta = \alpha$.
+
+Si, en revanche, $\alpha$ est fini, c'est-à-dire $\alpha < \omega$,
+alors $\alpha$ est un entier naturel, et comme l'addition ordinale sur
+les entiers naturels coïncide avec l'addition usuelle sur ceux-ci, on
+a $1 + \alpha > \alpha$.
+\end{corrige}
+
+
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cgit v1.2.3